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利用函數(shù)凸性證明不等式
關鍵詞：函數(shù)凸性 凸函數(shù) 不等式證明
摘要：目的不等式在高等數(shù)學中的應用非常廣泛,地位舉足輕重,正確使用不等式可使復雜的數(shù)學問題簡單化,由于它的應用方法靈活、抽象、邏輯性較強,所以不易掌握。而在不等式的證明中,有些看似復雜的問題,利用函數(shù)的凸性可以很輕松地解決。方法從解析定義、幾何解釋和直觀描述性定義3個方面介紹凸函數(shù)定義,再揭示凸函數(shù)的判定定理和性質(zhì),其中重點把握凸函數(shù)的Jensen不等式,在前述內(nèi)容的基礎上建立凸函數(shù)框架統(tǒng)一證明初等不等式,并推證一些著名不等式。結(jié)果通過舉例的方式,巧妙地構(gòu)造凸函數(shù),利用函數(shù)凸性加以證明,確實使大部分不等式的證明更加簡潔明了。結(jié)論在高等數(shù)學教學中,利用函數(shù)的單調(diào)性給出了特殊函數(shù)不等式的證明方法,使復雜問題簡單化,學生在學習過程中容易接受,并增加學生學習高等數(shù)學的積極性。但不等式的證明方法繁多,難度、技巧性都很大,比如導數(shù)定義法、拉格朗日中值定理法、冪級數(shù)展開法等,把應用這些方法證明不等式和利用函數(shù)凸性證明不等式結(jié)合起來,相互補充,不斷總結(jié)歸納,可以拓寬知識面,提升解題能力。
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