導(dǎo)言：作為寫作愛好者，不可錯過為您精心挑選的10篇三角函數(shù)變換規(guī)律，它們將為您的寫作提供全新的視角，我們衷心期待您的閱讀，并希望這些內(nèi)容能為您提供靈感和參考。

篇1

中圖分類號：G632.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號：1674-9324（2012）04-0116-02

由于三角函數(shù)的變換具有種類多而且方法靈活多變的特點，所以很難讓學(xué)生真正的掌握。但是三角變換中的基本規(guī)律和思想?yún)s是不變的，我們可以把這些規(guī)律概括為公式間的聯(lián)系和運用這兩種。

一、三角函數(shù)變換中常見的幾種類型

1.“角”度的變換。在進(jìn)行三角變換解題的過程中，三角函數(shù)中角度變換，主要體現(xiàn)在差角、和角、半角、倍角、余角、湊角、補角等之間相互的轉(zhuǎn)換，角度的變換起到了紐帶的作用。隨著三角函數(shù)角度的變換，函數(shù)的運算符號、名稱以及次數(shù)等都會有一些相應(yīng)的變化。在對三角問題進(jìn)行求解的過程當(dāng)中，由于表達(dá)式時常會出現(xiàn)許多相異角，因此，我們就要根據(jù)三角角度間和、差、倍、半、補、余、湊等關(guān)系，用“已知角”來表示“未知角”，然后再進(jìn)行相關(guān)的運算，使三角變換的問題可以順利的求解。

2.函數(shù)名稱的變換。在函數(shù)名稱變換中，最為常見的就是切割化弦，這時，我們一般都會從化函數(shù)或是化形式方面著手。在三角函數(shù)當(dāng)中，正弦和余弦是六個三角函數(shù)中的基礎(chǔ)，它們的應(yīng)用也是最為廣泛的，其次是正切。通常來講，在進(jìn)行三角問題求解的過程當(dāng)中，時常會出現(xiàn)一些不同的三角函數(shù)名稱，這時就需要我們把這些不同的三角函數(shù)名稱轉(zhuǎn)換成同名的三角函數(shù)，我們最常見的轉(zhuǎn)化方式就是“切割化弦”與“齊次弦代切”。

3.“形”變換。在我們對三角函數(shù)進(jìn)行化簡、求值或是證明等運算的過程中，有時會根據(jù)相關(guān)的需要將一些常數(shù)如1，■，2+■等轉(zhuǎn)化成相關(guān)的三角函數(shù)，然后再利用相關(guān)的三角函數(shù)公式進(jìn)行運算。在這些常數(shù)當(dāng)中，利用常數(shù)1來進(jìn)行三角函數(shù)變換運算最為普通和廣泛。在進(jìn)行三角變換時，我們運算時一定要遵循由繁到簡、由簡而易的的規(guī)律，只有這樣我們才能在眾多的三角函數(shù)公式中找出相關(guān)的解題思路，才能明確解題的目標(biāo)，從而順利的解題。

如：2009年遼寧高考文科試題中，已知tanθ=2，則sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（）

A：■B：■C：-■D：-■

分析：利用已知條件，我們很容易想到這道題需要進(jìn)行“弦化切”，因此，我們利用已知整式中分母為1的條件，將“1”轉(zhuǎn)化為sin2α+cos2α，從而進(jìn)行解答。

二、三角函數(shù)變換的幾種常用解題方法

1.“弦函數(shù)”與“切函數(shù)”間的相互轉(zhuǎn)換。“弦函數(shù)”與“切函數(shù)”之間互相的轉(zhuǎn)換是我們平常對三角函數(shù)問題進(jìn)行解答時，常用的兩種函數(shù)轉(zhuǎn)化的基本手法。若是在三角函數(shù)式當(dāng)中存在著正切函數(shù)，我們就能讓學(xué)生在解題的時候，利用三角函數(shù)之間最基本的關(guān)系或是讓“弦函數(shù)”轉(zhuǎn)化成為“切函數(shù)”等方式來進(jìn)行對題目的求解或證明。

2.角的等量代換。在我們解決三角函數(shù)的問題過程中，要重點的注意已知角同所求角間的相互關(guān)系，適當(dāng)?shù)氖褂貌鸾呛推唇堑慕忸}技巧。就像α=（α+β）-β=β-（β-α）=■+■或是2α=（α+β）+（α-β）或是2β=（α+β）-（α-β）等。

例如：已知3sinβ=sin（2α+β），求證tan（α+β）=2tanα

證明：因為β=α+β-α，2α+β=α+β+α

所以3sinβ=sin（2α+β）

由此推出3sin（α+β-α）=sin（α+β+α），所以3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，因此推出2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，所以得出tan（α+β）=2tanα。

3.公式的逆用和變用。我們在對三角函數(shù)的問題進(jìn)行解題時，時常會遇到需要對三角公式進(jìn)行變用或逆用的情況，尤其是公式的變用，常常會因?qū)W生的不夠熟練出現(xiàn)錯誤。因此我們要讓學(xué)生能夠熟練的運用2sin2x=1-cos2x以及2cos2x=1+cos2x這些三角函數(shù)的公式。

4.引入輔助角公式。輔助角公式的引入，是在三角函數(shù)變換過程中，兩角和同兩角差之間正弦或是余弦公式形式的變換，它是求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、周期等時最為重要的解題手段之一，就像我們將三角函數(shù)式asina+bcosα轉(zhuǎn)變?yōu)椤鰏in（α+φ）的形式，在這個三角函數(shù)式里φ被稱為輔助角，而這個輔助角的大小則是由tanφ所決定的，它的象限就是由a、b兩個符號所確定的。

例如在2009年重慶高考文科卷2試題中，設(shè)函數(shù)f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω>0）的最小正周期為■。

（1）求ω的值；

（2）若是y=f（x）的圖像往右平移了■個單位長度得到了函數(shù)y=g（x）的圖像，則求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)增區(qū)間。

解：（1）f（x）=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx

=sin2ωx+cos2ωx+2=■sin（2ωx+■）+2

則T=■=■，則解得ω=■

解（2）得g（x）=■sin[3（x-■）+■]+2

=■sin（3x-■）+2

由于2kπ-■≤3x-■≤2kπ+■，（k∈Z），所以■kπ+■≤x≤■kπ+■，（k∈Z），所以y=g（x）的單調(diào)增區(qū)間就是[■kπ+■，■kπ+■]

綜上所述，無論對三角函數(shù)進(jìn)行求值、化簡還是證明，其解題的過程都會是從已知向未知進(jìn)行轉(zhuǎn)化的過程，所以，我們要從中找到它們之間的差異，才能順其自然的對三角函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)變。

參考文獻(xiàn)：

[1]葛志峰.三角變換的類型與技巧[J].讀與寫（教育教學(xué)刊），2007，（5）.

篇2

三角函數(shù)的圖象是三角函數(shù)的概念和性質(zhì)的直觀形象的反映，是研究三角函數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)。而三角函數(shù)的圖象的特征和性質(zhì)，又是通過函數(shù)的圖象變換反映出來的，因此掌握這一函數(shù)圖象的變換關(guān)系及靈活運用，是分析和解決與三角函數(shù)的圖象有關(guān)的問題的關(guān)鍵。同時，三角函數(shù)的圖象變換也是歷年高考中的常考內(nèi)容。

下面淺談三角函數(shù)的圖象變換。對于這一函數(shù)的圖象變換，課本上首先分別探索了、ω、A對圖象的影響，即得到下面三種基本變換：

1、相位變換：把的圖象上所有點向左（當(dāng)>0時）或向右（當(dāng)

2、周期變換：把的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)ω>1時）或伸長（當(dāng)0

3、振幅變換：把的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)A>1時）或縮短（當(dāng)0

然后在此基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)出由正弦曲線得到函數(shù)的圖象的變換過程：

課本對于這一過程的歸納總結(jié)，雖然體現(xiàn)了由簡單到復(fù)雜、由特殊到一般的化歸思想，說明了圖象的變換過程，但是學(xué)生在學(xué)習(xí)理解上卻存在一定的困難，有相當(dāng)部分的學(xué)生全靠死記硬背，形成思維定勢。如果改變圖象的變換順序，即先進(jìn)行周期變換，再進(jìn)行相位變換，則容易產(chǎn)生錯誤。如對于的圖象變換，在由變換到后，有些學(xué)生錯誤地認(rèn)為：只需再將其圖象向左或向右平移||個單位，而正確的圖象變換應(yīng)該是向左或向右平移個單位，即函數(shù)變換為。相位φ變換實質(zhì)上就是將函數(shù)的圖象向左或向右平移．當(dāng)先作周期變換后作相位變換時，須提出系數(shù)ω，這是因為周期變化時改變了x的值，此時其初相位（非0初相）同時也改變相應(yīng)得到改變，且改變的倍數(shù)相同．當(dāng)先作相位變換后作周期變換，由于此時x的系數(shù)為1，系數(shù)提不提無影響，為了統(tǒng)一記憶我們也視為提出系數(shù)“1”．因而有“變φ要把系數(shù)提”之說。這樣就避免了容易發(fā)生的錯誤，有助于分析和解決問題。請看下面的例題。

例1、要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象( )個單位長度

（A）向左平移 （B）向右平移 （C）向左平移 （D）向右平移

分析：因為，由圖象變換可知應(yīng)將函數(shù)的圖象向右平行移動，移動單位為，即有，于是選（D）。

變式：要得到的圖象，只需將的圖象( )個單位長度

（A）向左平移 （B）向右平移 （C）向左平移 （D）向右平移

分析：因為，即，所以選（C）。

評注：進(jìn)行圖象變換時應(yīng)切記無論是哪種變換都是對字母x而言的，注意到這一點就無須擔(dān)心到底是先作相位變換還是先作周期變換。

例2、已知函數(shù) ( )的圖象如圖1所示，那么( )

（A） （B）

（C） （D）

分析：由圖象可知：又,

所以，于是選（C）。

評注：①此題牽涉到三角函數(shù)的性質(zhì)、圖象及其變換，要解決它需要綜合應(yīng)用這些知識；

②數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，很多函數(shù)的性質(zhì)都是通過觀察圖象而得到的。

例3、為了得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（ ）

（A）向左平移 （B）向左平移 （C）向右平移 （D）向右平移

解： 因為，又題中變換與圖象變換相逆，因此方向應(yīng)向右，平移單位為：，所以應(yīng)選（D）。

變式：將的圖象沿x軸向右平移個單位長度，再保持圖象上每個點的縱坐標(biāo)不變，而橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到的曲線與相同，則是( )

（A） （B）

（C） （D）

解：將圖象上的每個點的縱坐標(biāo)不變，而橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，得到的圖象，再將此圖象向左平移個單位得到

，即，選（C）。

評注：圖象變換的過程是可以互逆的。例題3及其變式的設(shè)計有助于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，開闊學(xué)生的視野，做到舉一反三，加深對知識的理解。

總之，為了讓學(xué)生充分理解和完全掌握三角函數(shù)的圖象變換，我們在設(shè)計相關(guān)題組時，可以對自變量x進(jìn)行變化，可以對函數(shù)的解析式進(jìn)行變化，還可以對變換過程的順序進(jìn)行變化。三角函數(shù)圖象的周期、振幅、相位等變換的問題是歷年高考中?？疾榈膬?nèi)容。對此類命題的求解，無論三種變換怎樣擺設(shè)，先要弄清哪是原函數(shù)的圖象，哪是新函數(shù)的圖象，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，很快就可得到解決。

參考文獻(xiàn)：

篇3

三角學(xué)起源于古希臘，在中國距今兩千多年前的《周髀算經(jīng)》中也有關(guān)于我國最早的三角測量的記載.三角函數(shù)是三角學(xué)中非?；A(chǔ)的、非常重要的一部分.在高中數(shù)學(xué)中，對三角函數(shù)的學(xué)習(xí)主要是三角函數(shù)的圖像和性質(zhì).雖然在高中數(shù)學(xué)中對三角函數(shù)的學(xué)習(xí)要求并不高，但是我們學(xué)習(xí)起來也常常會有一些錯誤出現(xiàn).本文將把這些三角函數(shù)中常見的錯誤歸類出來，加以詳細(xì)的探究，希望能為以后的三角函數(shù)學(xué)習(xí)提供借鑒和幫助.

一、知識性錯誤

數(shù)學(xué)中的知識性錯誤是指由于對有關(guān)所學(xué)的概念理解不清，對概念、性質(zhì)混淆不清等，從而導(dǎo)致的錯誤.

（一）概念理解不清

致錯分析 以上錯解的原因是沒有考慮函數(shù)的定義域，因為函數(shù)f（x）的定義域為x≠kπ+ π 2 ，k∈ Z .

二、邏輯性錯誤

由于我們認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不完善，所以在數(shù)學(xué)解題中就很容易出現(xiàn)邏輯性的錯誤.邏輯性錯誤指的是我們在解題的過程中由于違背了邏輯思維的規(guī)律而產(chǎn)生的錯誤.邏輯思維的規(guī)律，即邏輯規(guī)律一般指的是同一律、矛盾律、排中律和充分理由律.常見的邏輯性錯誤的類別一般為循環(huán)論證、偷換概念、虛假理由、分類不當(dāng)和不等價變換這五種.在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，一般會出現(xiàn)的邏輯性錯誤有分類不當(dāng)、循環(huán)論證和不等價變換這三種.

（一）循環(huán)論證

論題、論據(jù)和論證是構(gòu)成任何數(shù)學(xué)問題的三大要素，其中論題指的是為了真實性而需要的那個命題，論據(jù)指的是為了證明論題的真實性所需要依據(jù)的真命題，論證指的是聯(lián)系起了論題和論據(jù)的具體的推理形式.只有真實的論據(jù)才能論證出論題的真假，但是論據(jù)的真實性不能不依賴于論題的真實.循環(huán)論證指的就是論據(jù)的真實性需要依賴論題的真實性的一種論證.

致錯分析 上述解法看上去好像是正確的，其實已經(jīng)犯了循環(huán)論證的錯誤，錯在沒有利用題設(shè)條件進(jìn)一步縮小α-β的范圍，產(chǎn)生了增根.

事實上，同理可得：.

（二）不等價變換

不等價變換是屬于邏輯錯誤中的違反同一律原則的錯誤.在解題過程中，對命題進(jìn)行不等價的變換，常常會出現(xiàn)解集的縮小或者是擴大.

三、策略性錯誤

在數(shù)學(xué)解題過程中的策略性錯誤主要指的是在解題方向上有偏差.這樣的錯誤往往會導(dǎo)致解題的思路受阻而無法完成解題過程，或者解題思路過于曲折而即使做對了也非常費時費力.

（一）不善于正難則反

我們在解題的過程中一般都會習(xí)慣于從正面去思考問題，而并不去做反面的思考.但是有時候從正面來解決一個問題是非常艱難或者復(fù)雜的，甚至常常會容易出錯.這就要求我們在解題的時候要靈活運用方法，當(dāng)正面解題比較艱難的時候可以從反面進(jìn)行思考.

例5 函數(shù)y=- 1 2 cos2x-2asinx+a2+a+ 1 2 的最小值是3，求a的值.

錯解 將原函數(shù)變形為：y=sin2x-2asinx+a2+a，令sinx=t，則y=（t-a）2+a，當(dāng)t=a時，ymin=a，a=3.

致錯分析 三角函數(shù)中通過換元便隱去了三角函數(shù)的特性，三角函數(shù)的定義域和值域的有界性常常被忽略，例子 中-1≤sinx≤1，即-1≤t≤1，當(dāng)a=3時，t=3，即sinx =3顯然不符合題意.事實上，換元后，問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=f（t）=（t-a）2+a在閉區(qū)間[-1，1]上的最小值問題.

正解 （1）當(dāng)a

（2）當(dāng)-1≤a≤1時，由ymin=f（a）=3，得a=3，不符合題意，舍去；

（3）當(dāng)a>1時，由ymin=f（1）=3，得a=2.

綜合（1）、（2）、（3）得：a= -3- 17 2 或a=2.

（二）審題出現(xiàn)主觀臆斷

篇4

三角函數(shù)是考試的重點，也是我們得分的關(guān)鍵，由于已經(jīng)是第二輪復(fù)習(xí)，學(xué)生對于公式，定理的掌握基本熟練，我給他們準(zhǔn)備了導(dǎo)學(xué)案，要求課前完成。

題型一：三角函數(shù)的化簡求值問題

此題是三角函數(shù)公式，定理的考查，兩角和差的三角函數(shù)公式的內(nèi)涵是“揭示同名不同角的三角函數(shù)的運算規(guī)律”，對公式要會“正用”“逆用”“變形用”，記憶公式要注意角、三角函數(shù)名稱排列以及連接符號“+”，“－”的變化特點。在使用三角恒等變換公式解決問題時，“變換”是其中的精髓，在“變換”中既有公式的各種形式的變換，也有角之間的變換，本題的易錯點是符號，角的關(guān)系，為了鞏固知識，安排了一個變式訓(xùn)練1：

篇5

所謂等量替換，實際上就是用一種量或者其部分替換與之相等的另外一種量、或者一部分；等量替換是初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的一種基本思想方法，同時也是代數(shù)思想教學(xué)和學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).從狹義層面來講，函數(shù)等量替換思想，即采用等式性質(zhì)體現(xiàn)實際上是等式的傳遞性.比如，a=b、b=c，則可推導(dǎo)出a=c.在初中函數(shù)教學(xué)過程中，真正用到的等量替換為f（a=b∧f（a）f（b）），上述關(guān)系中的f代表的是廣義層面的等量替換.具體來講，即如果M是N的同義詞，而且N代表人，則M也是人.從實踐來看，該種數(shù)學(xué)思想方法不僅在初中階段的函數(shù)教學(xué)過程中應(yīng)用比較廣泛，作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和重要知識點，在高中、大學(xué)階段都會用到.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，因三角函數(shù)變換種類非常的多，學(xué)習(xí)方法非常的靈活，所以學(xué)生感到非常的吃力或者困惑.然而，三角變換過程中基本規(guī)律、解題思路不變，因此實踐中可將這些基本規(guī)律概括成公式之間的聯(lián)系、運用，在此過程中三角函數(shù)的等量替換對學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)，具有非常重要的作用.事實上，在我們的日常生活中存在著很多等量替換的實例，比如曹沖稱象的故事，便是一個非常經(jīng)典的等量替換思想應(yīng)用實例.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如果A=B，Q+A=W+B，則Q=W就是等量替換思想應(yīng)用的結(jié)果.在初中數(shù)學(xué)函數(shù)中，如果兩個方程式相等，在其兩邊分別同時加上同一個整式，則二者依然相等，這便是最為典型的等量替換思想.

二、初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)過程中的等量替換措施

在當(dāng)前初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)過程中，等量替換思想應(yīng)用非常的廣泛，以三角函數(shù)為例，其變換常見的類型如下.

1.三角函數(shù)中的“角”替換策略

在初中三角變換解題實踐中，對三角函數(shù)中的相應(yīng)角度進(jìn)行替換，體現(xiàn)在和角、差角、半角、余角、倍角以及補角和湊角之間的相互替換，其中角度變換或者替換，起到了非常重要的連接作用.在三角函數(shù)角度替換過程中，函數(shù)運算過程中的名稱、符號以及次數(shù)等，也會隨之發(fā)生相應(yīng)的變化.

比如，在ABC中，已知∠BAC=90°，M是線段AC的中點，且AGBM，垂足為G，BG=2GM.（1）證明BC=3AG；（2）設(shè)AB=6 ，則BM的長度為多少.

（2） 由（1）得當(dāng)AB=6時，BM=BG+MG=3.

本例題中用到了等量替換思想.事實上在對初中三角函數(shù)問題求解過程中，因表達(dá)式中通常會有許多個相異的角，所以需根據(jù)實際情況，三角角度間和、差、倍、半以及補和余關(guān)系，將未知角用已知角來表示（替換），然后再進(jìn)行具體運算，從而順利求解.

2.三角函數(shù)中的“形”替換策略

篇6

例1已知一扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.

（1）若α=60°，R=30cm，求扇形的弧長l及該弧所在的弓形面積.

（2）若扇形周長為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？

（3）若將該扇形的圓心放在坐標(biāo)原點，使角α的始邊與x軸重合，已知角α的終邊上一點P的坐標(biāo)為（-3，y）（y≠0）且sinα=214y，求cosα，tanα.

（4）若α=60°，求θ，使θ與α的終邊相同，且-720°≤θ

【思路點撥】 （1）可直接使用弧長公式計算，但注意在弧度制下角需用弧度制.（2）可用弧長或半徑來表達(dá)出扇形的面積，弓形面積由扇形面積與三角形面積的差組成，然后確定其最大值.（3）利用三角函數(shù)的定義求解，注意對y的討論.（4）利用終邊相同的角的集合S={β|β=α+2kπ，k∈Z}.

【解析】 （1）α=60°=π13rad，R=30，l=|α|·R=π13×30=10πcm.

S弓=S扇-S三角形=112×10π×30-112×302×sinπ13=150π-2253（cm）2.

（2）由題意得l+2R=20，l=20-2R（0

S扇=112lR=112×（20-2R）×R=（10-R）·R=-R2+10R.

當(dāng)且僅當(dāng)R=5時，S有最大值25（cm）2.

此時l=20-2×5=10，α=l1R=1015=2rad.

當(dāng)α=2rad時，扇形面積取最大值.

（3）r2=x2+y2=y2+3，由sinα=y1r=y1y2+3=214y，所以y=±5.

所以當(dāng)y=5時，cosα=x1r=-614，tanα=y1x=-1513，

當(dāng)y=-5時，cosα=-614，tanα=1513.

（4）令θ=60°+k·360°（k∈Z）.取k=-1，-2就得到適合-720°≤θ

60°+（-1）×360°=-300°，60°+（-2）×360°=-660°.

【歸納總結(jié)】 扇形的面積與弧長的計算在幾何中應(yīng)用較多，都可以用角度制與弧度制兩種方式給出，應(yīng)注意角度制與弧度制不能混用.合理利用圓心角所在的三角形，合理選擇參數(shù)，運用函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想，解決扇形中的有關(guān)最值問題.利用定義法求三角函數(shù)值需要已知或設(shè)角α終邊上一異于原點的點P的坐標(biāo)，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角.

【變式訓(xùn)練1】

（1）已知角α的終邊在直線y=-3x上，則10sinα+3×11cosα=.

（2）不借助計算器的情況下，證明：sin20°

考點二、三角函數(shù)的同角公式及誘導(dǎo)公式

【考點解讀】 求值題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能.題型多為選擇題或填空題.六組誘導(dǎo)公式可統(tǒng)一記為“奇變偶不變，符號看象限”.利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值時，先利用公式化任意角三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其原則：負(fù)化正、大化小、化到銳角為終了.切弦互化的技巧必須靈活掌握.

例2（1）設(shè)θ為第二象限的角，若tan（θ+π14）=112，則sinθ+cosθ=.

（2）是否存在α∈（-π12，π12），β∈（0，π），使等式sin（3π-α）=2cos（π12-β），3cos（-α）=-2cos（π+β）同時成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由.

【思路點撥】 （1）利用兩角和的正切公式，求出tanθ，然后切化弦，再聯(lián)想平方關(guān)系式，解題突破口就是求解關(guān)于“sinθ，cosθ”的方程組.（2）要想求出α，β的值，必須知道α，β的某一個三角函數(shù)值，解決本題的關(guān)鍵是由兩個等式，消去α或β得出關(guān)于β或α的同名三角函數(shù)值.

【解析】 （1）tan（θ+π14）=112，tanθ=-113，

即3sinθ=-cosθ

sin2θ+cos2θ=1，解得sinθ=10110，cosθ=-310110.

sinθ+cosθ=-1015.【答案】 -1015.

（2）假設(shè)存在α，β使得等式成立，即有

sin（3π-α）=2cos（π12-β）1①

3cos（-α）=-2cos（π+β）1②

由誘導(dǎo)公式得sinα=2sinβ1③

3cosα=2cosβ1④

③2+④2得

sin2α+3cos2α=2，cos2α=112，

又α∈（-π12，π12），α=π14或α=-π14，

將α=π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知符合.

將α=-π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知不符合.

綜上可知，存在α=π14，β=π16滿足條件.

【歸納總結(jié)】 （1）對于sinθ+cosθ，sinθcosθ，sinθ-cosθ這三個式子，已知其中一個式子的值，其余二式的值可求.轉(zhuǎn)化的公式為（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ；（2）關(guān)于sinθ，cosθ的齊次式，往往化為關(guān)于tanθ的式子.已知角α的三角函數(shù)值求角α的一般步驟是：①由三角函數(shù)值的符號確定角α所在的象限；②據(jù)角α所在的象限求出角α的最小正角；③最后利用終邊相同的角寫出角α的一般表達(dá)式.

【變式訓(xùn)練2】

若f（α）=sin[α+（2n+1）π]+2sin[α-（2n+1）π]1sin（α-2nπ）cos（2nπ-α）（n∈Z），求f（19π16）.

考點三、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【考點解讀】 能畫出y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象，理解這三種函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大值和最小值、對稱中心和對稱軸等），函數(shù)的單調(diào)性是相對于某一區(qū)間而言的，研究其單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)行.

例3（1）求函數(shù)y=lg（2sinx-1）+-tanx-11cos（x12+π18）的定義域；

（2）求y=3tan（π16-x14）的周期及單調(diào)區(qū)間；

（3）求函數(shù)y=3cosx-3sinx的值域.

【思路點撥】 （1）求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式（組），常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解.（2）先化為：y=-3tan（x14-π16），再求單調(diào)區(qū)間.（3）先將原函數(shù)式進(jìn)行等價變形，利用|cosx|≤1，|sinx|≤1，但要注意自變量的取值變化.

【解析】 （1）要使函數(shù)有意義，則

2sinx-1>0

-tanx-1≥0

cos（x12+π18）≠0sinx>112

tanx≤-1

x12+π18≠kπ+π12（k∈Z），

如圖利用單位圓得：

2kπ+π16

kπ+π12

x≠2kπ+3π14（k∈Z），

函數(shù)的定義域為：{x|2kπ+π12

（2）y=3tan（π16-x14）=-3tan（x14-π16），

T=π1|ω|=4π，y=3tan（π16-x14）的周期為4π.

由kπ-π12

3tan（x14-π16）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內(nèi)單調(diào)遞增，

y=3tan（π16-x14）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內(nèi)單調(diào)遞減.

（3）y=3cosx-3sinx=23（312cosx-112sinx）=23cos（x+π16），

|cos（x+π16）|≤1，該函數(shù)值域為[-23，23].

【歸納總結(jié)】 （1）求三角函數(shù)的定義域，既要注意一般函數(shù)定義域的規(guī)律，又要注意三角函數(shù)的特性，如題中出現(xiàn)tanx，則一定有x≠kπ+π12，k∈Z.求三角函數(shù)的定義域通常使用三角函數(shù)線、三角函數(shù)圖象和數(shù)軸.（2）對于y=Atan（ωx+φ）（A，ω，φ為常數(shù)），其周期T=π1|ω|，單調(diào)區(qū)間利用ωx+φ∈（kπ-π12，kπ+π12）（k∈Z），解出x的取值范圍，即為其單調(diào)區(qū)間.（3）將原函數(shù)式化為一角一名的形式，如y=Asin（ωx+φ）+B，y=Acos（ωx+φ）+B或化為關(guān)于sinx（或cosx）的二次函數(shù)式，切忌忽視函數(shù)的定義域.

【變式訓(xùn)練3】

已知函數(shù)f（x）=cos（π13+x）cos（π13-x）-sinxcosx+114，

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；

（2）求函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間.

考點四、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用【考點解讀】 該考點是高考的必考點.理解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ的意義及其對函數(shù)圖象變化的影響.能根據(jù)所給三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定其中的參數(shù)，并能由一個三角函數(shù)的圖象通過平移變換、伸縮變換、振幅變換和對稱變換得到另一個三角函數(shù)的圖象.利用三角函數(shù)的解析式可研究三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象.會用三角函數(shù)解決一些簡單實際的問題.

例4已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0

（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式；

（2）是否存在x0∈（π16，π14），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定x0的個數(shù)；若不存在，說明理由.

【思路點撥】 （1）根據(jù)題目給出的周期和對稱中心求得函數(shù)f（x）的解析式，利用函數(shù)圖象的平移和伸縮的變換規(guī)律逐步得到g（x）；（2）將等差數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為方程在指定區(qū)間內(nèi)是否有解的問題，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性確定零點的個數(shù).

【解析】 （1）由函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的周期為π，ω>0，得ω=2，

又曲線y=f（x）的一個對稱中心為（π14，0），φ∈（0，π），

故f（π14）=sin（2×π14+φ）=0，得φ=π12，所以f（x）=cos2x.

將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）后可得y=cosx的圖象，再將y=cosx的圖象向右平移π12個單位長度后得到函數(shù)g（x）=sinx.

（2）當(dāng)x∈（π16，π14）時，112

所以sinx>cos2x>sinxcos2x，

問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（π16，π14）內(nèi)是否有解.

設(shè)G（x）=sinx+sinxcos2x-2cos2x，x∈（π16，π14），

則G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）.

因為x∈（π16，π14），所以G′（x）>0，G（x）在（π16，π14）內(nèi)單調(diào)遞增，

又G（π16）=-1140，

且函數(shù)G（x）的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)G（x）在（π16，π14）內(nèi)存在唯一零點x0，

即存在唯一的x0∈（π16，π14）滿足題意.

【歸納總結(jié)】 探討三角函數(shù)的性質(zhì)，難點在于三角函數(shù)解析式的化簡與整理，熟練掌握三角恒等變換的有關(guān)公式，靈活運用角之間的關(guān)系對角進(jìn)行變換，將解析式轉(zhuǎn)化為一角一函數(shù)的形式，然后通過換元法求解有關(guān)性質(zhì)即可.根據(jù)y=Asin（ωx+φ）+k的圖象求其解析式的問題，主要從A、k、ω及φ等四個方面來考慮.

【變式訓(xùn)練4】

（1）函數(shù)y=2sin（ωx+φ）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式可能是.

（2）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，甲同學(xué)在圖中用余弦定理解得AC=8-8cos108°，乙同學(xué)在RtACH中解得AC=11cos72°，據(jù)此可得cos72°的值所在區(qū)間為.

考點五、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式及簡單的三角恒等變換【考點解讀】 該考點是高考的必考點.研究不同三角函數(shù)值之間的關(guān)系時，常以角為切入點，并以此為依據(jù)進(jìn)行公式的選擇，同時還要關(guān)注式子的結(jié)構(gòu)特征，通過對式子進(jìn)行恒等變形，使問題得到簡化.在進(jìn)行三角運算時必知的幾個技巧：“1”的代換，正切化弦，異角化同角，異次化同次，變角，變名，變結(jié)構(gòu)等化簡技巧.

例5已知函數(shù)f（x）=2cos（x-π112），x∈R.

（1）求f（-π16）的值；

（2）若cosθ=315，θ∈（3π12，2π），求f（2θ+π13）.

【思路點撥】 （1）直接代入，根據(jù)誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值得出結(jié)果；（2）先求出sinθ，利用倍角公式得出sin2θ，cos2θ的值，使用三角變換公式求解.

【解析】 （1）f（-π16）=2cos（-π16-π112）

=2cos（-π14）=2cosπ14=1；

（2）f（2θ+π13）=2cos（2θ+π13-π112）

=2cos（2θ+π14）=cos2θ-sin2θ，

因為cosθ=315，θ∈（3π12，2π），所以sinθ=-415，所以sin2θ=2sinθcosθ=-24125，cos2θ=cos2θ-sin2θ=-7125，所以f（2θ+π13）=cos2θ-sin2θ=-7125-（-24125）=17125.

【歸納總結(jié)】 三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：（1）一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式；（3）三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向.公式的逆用，變形十分重要，常通過三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數(shù).

【變式訓(xùn)練5】

31cos10°-11sin170°=.

【變式訓(xùn)練答案】

1.解析：（1）設(shè)α終邊上任一點為P（k，-3k）.則r=x2+y2=k2+（-3k）2=10|k|.

當(dāng)k>0時，r=10k，sinα=-3k110k=-3110，11cosα=10k1k=10.

10sinα+3×11cosα=-310+310=0.

篇7

1 引言

虛擬現(xiàn)實是當(dāng)前最熱門的技術(shù)之一，隨著《阿凡達(dá)》、《侏羅紀(jì)公園》、《星際穿越》等3D電影的普及，虛擬現(xiàn)實技術(shù)及行業(yè)迎來了前所未有的發(fā)展機遇，目前正面臨著爆炸式增長。形象、逼真的三維真實感圖形建模是虛擬現(xiàn)實的基礎(chǔ)，也是其“沉浸感”體驗的前提，廣泛應(yīng)用于影視、游戲、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。三維真實感圖形建模與物體所遵循的物理模型密切相關(guān)，如海浪波動、導(dǎo)彈飛行、車輛運動等，分別遵循波動理論、飛行動力學(xué)、碰撞理論等的約束。只有遵循嚴(yán)格的物理規(guī)律，才能有效模擬出逼真的三維模型。

三角函數(shù)是一類經(jīng)典的數(shù)學(xué)函數(shù)，包括正弦、余弦、正切、余切以及它們的反函數(shù)等，各類三角函數(shù)間有著復(fù)雜的變換關(guān)系，如和差關(guān)系、倍角關(guān)系、半角關(guān)系、和差化積關(guān)系等。同時，三角函數(shù)也是一類典型的波動類函數(shù)，通過不同頻率、相位、振幅的三角函數(shù)運算，可以生成不同類型的波函數(shù)。因此，三角函數(shù)也是波動類真實感圖形建模的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，如海浪、電磁波、舞動的旗幟、毛發(fā)、飄動的衣物等。

本文對三維真實感圖形建模中的一個典型問題――三維海浪的建模進(jìn)行了研究，分析了海浪建模中的三角函數(shù)及其數(shù)學(xué)描述，基于三角函數(shù)建立了海浪波動的物理模型，給出了三維海浪的繪制方法，并基于三維建模軟件OpenGL進(jìn)行了仿真實現(xiàn)。

2 海浪建模中三角函數(shù)的數(shù)學(xué)描述

選取與海浪建模密切相關(guān)的三角函數(shù)進(jìn)行討論：

?時間自變量三角函數(shù)描述：

（1）

其中：A為振幅，ω為角頻率，φ為初始相位。此公式可理解為波動類物理現(xiàn)象的基本描述，包括電磁波、水波、聲波等，復(fù)雜的波動方程是該公式的變換疊加。

?和差運算：

三角函數(shù)的和差運算主要用于三維建模中的旋轉(zhuǎn)變換，通過極坐標(biāo)形式，推導(dǎo)出變換前后的對應(yīng)關(guān)系。以下是由公式（2）推導(dǎo)出的二維旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系（限于篇幅，推導(dǎo)過程略）：

其中，點P1是點P圍繞原點旋轉(zhuǎn)β角得到的新點，P1x、P1y分別是點P1的x和y坐標(biāo)，Px、Py分別是點P的x和y坐標(biāo)。三維旋轉(zhuǎn)比較復(fù)雜，但可以此類推。

3 基于三角函數(shù)的三維海浪建模

海浪的本質(zhì)是一種水體波動，因此遵循波動約束，對海浪進(jìn)行仿真模擬，必須遵循其物理運動規(guī)律。

3.1 海平面三角函數(shù)建模

首先定義坐標(biāo)系：在海平面上，坐標(biāo)原點為當(dāng)前視點，X軸正方向為水平向右，Y軸正方向為豎直向前。設(shè)海平面是一個等間距采樣的網(wǎng)格點，網(wǎng)格交叉點處的Z值為水體高度。如圖1所示。

3.1.1 單個波僅沿坐標(biāo)軸一個方向傳播

在X軸和Y軸上傳播公式如下：

其中： A為最大振幅，k=2π/λ為波數(shù)，λ為波長；ωi=2πf為角頻率，f為頻率；φ為初始相位。

3.1.2 單個波在坐標(biāo)平面內(nèi)傳播

單個波在坐標(biāo)平面內(nèi)的傳播是X軸和Y軸傳播的疊加，如下：

其中：θ為波的傳播方向與X軸的夾角，其他參數(shù)含義不變。

3.1.3 海面波動模型

依據(jù)波動理論，將海浪形成過程分為兩步：一是不同波長、振幅的一系列波的疊加；二是相同波長但具有不同的傳播方向即與X軸的夾角不同的波的疊加。

設(shè)網(wǎng)格交叉點處（x， y）的水體高度初始值為A0，則對于海面點（x， y）在t時刻對應(yīng)的瞬時波高可表示成：

其中：n為不同波長的波數(shù)量；m為同波長沿不同方向傳播的波數(shù)量；A0為初始浪高；Aij為最大振幅；ki=2π/λi為波數(shù)，λi為波長；ωi =2πfi為角頻率，fi為頻率；θj為波的傳播方向與X軸的夾角；φij為初始相位。

3.2 三角形組網(wǎng)

公式（6）給出了海平面的波動模型，基于該公式，我們可以仿真海平面任意時刻、任意位置的海浪波高?，F(xiàn)對海平面網(wǎng)格進(jìn)行三角形剖分，以形成幾何模型。其剖分規(guī)則為：將正方形網(wǎng)格對角頂點按統(tǒng)一方向相連，從而將每一網(wǎng)格規(guī)則剖分為兩個三角形。如圖2所示。

三角形組網(wǎng)完成后，海面將形成由連續(xù)三角形組成的網(wǎng)面，每個三角形頂點的高度坐標(biāo)由公式（6）決定。此時，海面的波浪起伏狀態(tài)已經(jīng)完成計算與建模，只需將三角形網(wǎng)按照圖形顯示的規(guī)則進(jìn)行繪制即可（通?？山柚S圖形建模與繪制的工具軟件，如OpenGL）。

3.3 實驗結(jié)果及其分析

在公式（6）中，在零時刻取A0=0、n=40、m=10、Aij=random（0， 1）、ki= random（5， 10）、θj= random（0， 2π）、φij= random（0， π/2）；在采樣網(wǎng)格點數(shù)為400×400條件下，基于三維建模軟件OpenGL模擬生成了動態(tài)海浪，如圖3所示。

圖3是三維海浪的模擬效果。其中，圖3（a）是線框模式，從中可以清楚看出海面網(wǎng)格在公式（6）的作用下，其網(wǎng)格點的高低起伏狀況；圖3（b）是紋理填充模式，在紋理和光照條件下，較好地模擬了真實海浪。從圖3可看出，基于三角函數(shù)的海浪模擬可獲得較高的真實感，隨著參數(shù)選取的不同，可生成多種類型效果。進(jìn)一步的考慮是，將風(fēng)的因素融合進(jìn)公式（6），從而引入浪的卷曲和泡沫化等特效。

4 結(jié)論

三角函數(shù)是一類經(jīng)典的數(shù)學(xué)函數(shù)，由于其具有波動性質(zhì)，可有效用于波動類三維圖形建模。本文對三角函數(shù)在真實感三維海浪建模中的應(yīng)用進(jìn)行了研究，給出了建模與繪制方法，最后進(jìn)行了仿真實現(xiàn)。進(jìn)一步的工作是將該建模方法擴展至電磁、震動等領(lǐng)域的仿真模擬。

參考文獻(xiàn)

[1]郭宇承，谷學(xué)靜，石琳.虛擬現(xiàn)實與交互設(shè)計[M].武漢大學(xué)出版社，2015（07）.

篇8

1.教學(xué)內(nèi)容在深度、廣度上充分注意了螺旋式上升

螺旋上升是教材編寫應(yīng)遵循的一般原則。螺旋體現(xiàn)在學(xué)習(xí)主題的相同而內(nèi)容的深度、廣度的不同；上升體現(xiàn)在層次的提升，以及課程內(nèi)容的深度、廣度的適度加深上，而不是簡單地再現(xiàn)或重復(fù)[2]。

圖像變換是高中函數(shù)學(xué)習(xí)的一項重要內(nèi)容，主要涉及到圖像的平移、伸縮（縱向和橫向）、翻折等。高中階段對于這些變換的研究主要體現(xiàn)在指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)圖像的變換上。指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖像的變換出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)必修1教材上，三角函數(shù)圖像的變換出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)必修4教材上。從指數(shù)函數(shù)到對數(shù)函數(shù)，再到三角函數(shù)，研究圖像變換的載體改變了，教學(xué)內(nèi)容的深度也在改變；從平移變換到伸縮變換，教學(xué)內(nèi)容的廣度也隨之改變。教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)順序如下圖所示。

2.教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)的方式過于依賴合情推理，未能做到螺旋式上升

引入合情推理和演繹推理是新課程教材的一大亮點，它有利于在知識傳授的同時滲透方法論的教育，有利于幫助學(xué)生掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。教材編寫者在編寫教材時除了將“合情推理和演繹推理”作為獨立的教學(xué)內(nèi)容外，同時還用合情推理和演繹推理來引領(lǐng)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)。但在具體操作時，尚存在教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)的方式過于依賴合情推理現(xiàn)象，忽視學(xué)生已有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，忽視學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律的現(xiàn)象，顯得機械單一。這對學(xué)生科學(xué)的探究素養(yǎng)的形成是不利的。對蘇教版高中教材指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)圖像變換編寫進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)這三部分教學(xué)內(nèi)容在呈現(xiàn)方式上都強調(diào)了以圖識性、數(shù)形結(jié)合的思想，基本都按“作圖觀察——理性思考——得出具體結(jié)論——一般化”的方式編寫。比較如下。

（1）作圖觀察

①指數(shù)函數(shù)圖像平移變換作圖如下：

②對數(shù)函數(shù)圖像平移變換作圖如下：

③三角函數(shù)圖像平移變換作圖如下（由于相位變換、周期變換和振幅變換呈現(xiàn)的方式完全相同，故此處只呈現(xiàn)相位變換教材編寫的方式）：

（2）理性思考

①指數(shù)函數(shù)：函數(shù)y=2x-2中x=a+2對應(yīng)的y值與函數(shù)y=2x中x=a對應(yīng)的y值相等；

②對數(shù)函數(shù)：函數(shù)y=log3(x+2)中x=a-2對應(yīng)的y值與函數(shù)y=log3x中x=a對應(yīng)的y值相等；

③三角函數(shù)：函數(shù)y=sin(x+1)圖像上橫坐標(biāo)為t-1的點的縱坐標(biāo)，與函數(shù)y=sinx圖像上橫坐標(biāo)為t的點的縱坐標(biāo)相同。

（3）得出具體結(jié)論

①指數(shù)函數(shù)：將函數(shù)y=2x的圖像向右平移2個單位長度，就得到函數(shù)y=2x-2的圖像；

②對數(shù)函數(shù)：將函數(shù)y=log3x的圖像向左平移2個單位長度，就得到函數(shù)y=log3(x+2)的圖像；

③三角函數(shù)：函數(shù)y=sin(x+1)圖像可以看做是將函數(shù)y=sinx圖像上所有的點向左平移1個單位而得到的。

（4）一般化

①指數(shù)函數(shù)：以“思考”的形式呈現(xiàn)：“函數(shù)y=ax+h與函數(shù)y=ax(a>0，a≠1，h≠0)的圖像之間有什么關(guān)系？”

②對數(shù)函數(shù)：以“思考”的形式呈現(xiàn)：“函數(shù)y=loga(x+b)與函數(shù)y=y=logax+(a>0，a≠1，b≠0)的圖像之間有什么關(guān)系？”

③三角函數(shù)：直接告知一般化結(jié)論：函數(shù)y=sin(x+φ)（其中φ≠0）的圖像可以看做是將函數(shù)y＝sinx的圖像上所有點向左（當(dāng)φ>0）或向右（當(dāng)φ

教材教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)強調(diào)了從特殊到一般，利用歸納推理的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，再進(jìn)行邏輯推理。這是一種常用的數(shù)學(xué)研究的方法，學(xué)生在初三學(xué)次函數(shù)圖像的變換時實際上已經(jīng)接觸這種方法了。但這種方法是否適用于所有不同學(xué)段的學(xué)生？學(xué)生在不斷獲取新知的過程中，思維方式和學(xué)習(xí)能力是否始終不變？數(shù)學(xué)的重要結(jié)論是否一定要通過合情推理的形式發(fā)現(xiàn)呢？數(shù)形結(jié)合思想的運用是否一定要從形開始，依圖識性？能否依性作圖？能否改變教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，以適合不同層次學(xué)生發(fā)展的需要？

二、同一主題教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)的基本原則

篇9

常見題型：①三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；②化簡和求值；③三角形中的三角函數(shù)；④最值．本文對高考重點、常考題型進(jìn)一步總結(jié)，強化規(guī)律，解法定模，便于同學(xué)們考試中迅速提取，自如運用．

考點1．三角函數(shù)的求值與化簡

例1 已知cosα=17,cos(α－β)=1314,且0

(Ⅰ)求tan2α的值.（Ⅱ）求β.

解：（Ⅰ）由cosα=17,0

tanα=sinαcosα=43，于是tan2α=2tanα1－tan2α=2×431－(43)2=－8347

（Ⅱ）由0

又cos(α－β)=1314，sin(α－β)=1－cos2(α－β)=1－(1314)2=3314

由β=α－(α－β)得：cosβ=cos［α－(α－β)］=cosαcos(α－β)+sinαsin(α－β)

=17×1314+437×3314=12，所以β=π3.

突破方法技巧：三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)．即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如α=(α+β)－β=(α－β)+β，2α=(α+β)+(α－β)，α+β2=(α－β2)－(α2－β)等．第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇?；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點．

考點2．解三角形：此類題目考查正弦定理，余弦定理，兩角和差的正余弦公式，同角三角函數(shù)間的關(guān)系式和誘導(dǎo)公式等基本知識，以考查基本的運算為主要特征.解此類題目要注意綜合應(yīng)用上述知識.

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+23π)+2cos2x2,x∈R．（Ⅰ）求f(x)的值域；（Ⅱ）記ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a，b，c，若f(B)=1，b=1,c=3，求a的值．

解：（Ⅰ）f(x)=cosxcos2π3－sinxsin2π3+cosx+1=－12cosx－32sinx+cosx+1

=12cosx－32sinx+1=sin(x+56π)+1，f(x)的值域為［0,2］

（Ⅱ）由f(B)=1得sin(B+56π)+1=1即sin(B+56π)=0又因0

突破方法技巧：

(1)內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為π，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值均為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

(2)正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R(R為三角形外接圓的半徑).注意：①正弦定理的一些變式：(i)a:b:c=sinA:sinB:sinC；(ii)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R；(iii)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；②已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解.

(3)余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA,cosA=b2+c2－a22bc等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.

(4)面積公式：S=12aha=12absinC.

特別提醒：（1）求解三角形中的問題時，一定要注意A+B+C=π這個特殊性：A+B=π－C,sin(A+B)=sinC,sinA+B2=cosC2；（2）求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問題時，常運用正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角互化．

考點3．求三角函數(shù)的定義域、值域或最值：此類題目主要有以下幾種題型：（1）考查運用兩角和的正弦公式化簡三角函數(shù)式，以及利用三角函數(shù)的有界性來求值域的能力.（2）考查利用三角函數(shù)的性質(zhì), 誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系式、兩角差的公式，倍角公式等基本知識，考查運算和推理能力.（3）考查利用三角函數(shù)的有界性來求最大值與最小值的能力.

例3 已知函數(shù)f(x)=(1+cotx)sin2x+msin(x+π4)sin(x－π4)．

（1）當(dāng)m=0時，求f(x)在區(qū)間［π8,3π4］上的取值范圍；（2）當(dāng)tanα=2時，f(α)=35，求m的值．

解：（1）當(dāng)m=0時，f(x)=sin2x+sinxcosx

=12(sin2x－cos2x)+12=22sin(2x－π4)+12

又由x∈［π8,3π4］得2x－π4∈［0,5π4］，所以sin(2x－π4)∈［－22,1］，

從而f(x)=22sin(2x－π4)+12∈［0,1+22］.

（2）f(x)=sin2x+sinxcosx－m2cos2x=1－cos2x2+12sin2x－m2cos2x

=12［sin2x－(1+m)cos2x］+12

由tanα=2得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45，

cos2α=cos2α－sin2αsin2α+cos2α=1－tan2α1+tan2α=－35，所以35=12［45+(1+m)35］+12，得m=－2．

突破方法技巧：

三角函數(shù)的最值主要有以下幾種類型：①形如y=Asin(ωx+φ)、y= asinx+bcosx的，充分利用其有界性去求最值；②形如y=sinx+cosx+sinxcosx的，換元去處理；③形如y= asinx+bsin2x的，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)去處理；④形如y= 2－cosx2－sinx 的，可采用反表示的方法，再利用三角函數(shù)的有界性去解決，也可轉(zhuǎn)化為斜率去通過數(shù)形結(jié)合解決．

考點4．三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)：此類題目要求同學(xué)們在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上對三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運用.會用數(shù)形結(jié)合的思想來解題.

例4 已知函數(shù)f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1(x∈R)（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間［0,π2］上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f(x0)=65,x0∈［π4,π2］，求cos2x0的值．

解：由f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1，得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x－1)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，f(x)的最小正周期為π

f(x)=2sin(2x+π6)在［0，π6］上單調(diào)遞增，在［π6，π2］上單調(diào)遞減，

又f(0)=1,f(π6)=2,f(π2)=－1，f(x)在［0,π2］上的最大值為2，最小值為-1.

（2）由（1）知f(x0)=2sin(x0+π6)，又f(x0)=65,sin(2x0+π6)=35，

由x0∈［π4,π2］，2x0+π6∈［2π3,7π6］從而cos(2x0+π6)=－1－sin2(2x0+π6)=－45

cos2x0=cos［(2x0+π6)－π6］=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=3－4310

突破方法技巧：

研究復(fù)雜三角函數(shù)的性質(zhì)，一般是將這個復(fù)雜的三角函數(shù)化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求解，這是解決所有三角函數(shù)問題的基本思路.

篇10

1.概念記憶困難

雖說高中生已經(jīng)具備了學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ)，但很多學(xué)生對三角函數(shù)的概念還是一知半解，對各種誘導(dǎo)公式、轉(zhuǎn)換公式的記憶相當(dāng)模糊.初中的三角函數(shù)注重考查學(xué)生對有關(guān)公式的理解，而高中的三角函數(shù)更多的是考查學(xué)生對公式的應(yīng)用和變形.高中的三角函數(shù)教學(xué)是從對簡單函數(shù)的推導(dǎo)和變形開始的，要求學(xué)生有較強的推導(dǎo)能力.如果學(xué)生對三角函數(shù)的學(xué)習(xí)僅僅停留在記憶上，卻忽略對三角函數(shù)方程式和幾何意義的理解，必然難以學(xué)好三角函數(shù).

2.公式推理困難

在高中三角函數(shù)教學(xué)中，正弦定理、余弦定理、誘導(dǎo)公式、和差角公式、二倍角公式、三倍角公式、和差化積公式、積化和差公式等一系列公式的推理給學(xué)生帶來了巨大的困難.很多學(xué)生在做題的過程中，難以確定具體的公式內(nèi)容，自然也就難以學(xué)好三角函數(shù).如此眾多的公式要求學(xué)生準(zhǔn)確快速地反應(yīng)、記憶，必然是難以實現(xiàn)的，教師必須尋求高效的公式轉(zhuǎn)換記憶策略.

3.綜合運用困難

三角函數(shù)的知識已經(jīng)滲透到高中數(shù)學(xué)的方方面面，無論是填空題、計算題還是簡答題，都離不開它的幫助.筆者在長期的三角函數(shù)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生難以意識到何時該用三角函數(shù)求解，特別是對于一些隱性的函數(shù)問題.此外，很多學(xué)生雖然意識到要用三角函數(shù)知識，卻不清楚具體該用哪一類.高中數(shù)學(xué)對三角函數(shù)的考查往往是綜合、全面的，這就要求學(xué)生必須熟練掌握各類三角函數(shù)的概念、性質(zhì)、誘導(dǎo)公式等.同時，三角函數(shù)與向量、幾何圖形、重要不等式、二次函數(shù)等知識也有著密切的聯(lián)系，教師必須對學(xué)生實施綜合的三角函數(shù)教學(xué).

二、三角函數(shù)教學(xué)策略

1.巧施策略，深化學(xué)生記憶

對于三角函數(shù)的教學(xué)，首先要保證的是學(xué)生對各類三角函數(shù)的定義、公式的記憶.只有學(xué)生記得熟、記得準(zhǔn)，在函數(shù)解題中才會更加得心應(yīng)手.筆者相信，結(jié)合三角形的邊角知識對學(xué)生進(jìn)行三角函數(shù)定義的教學(xué)應(yīng)該不是問題.筆者在此將對三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行總結(jié)，為學(xué)生提供巧妙的、深刻的記憶方法.

例如，在三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式教學(xué)中，筆者常常假設(shè)一個任意角α，要求學(xué)生掌握這些誘導(dǎo)公式的記憶，如sin（2kπ）=sinα、tan（2kπ）=tanα等.對于此類公式的記憶，筆者提出：終邊相同的角為同一三角函數(shù).又如，sin（π+α）=-sinα、cos（-α）=cosα、sin（2π-α）=-sinα、sin（+α）=sinα等.因此，我們得到以下記憶規(guī)律.

①奇變偶不變：對于三角函數(shù)中的變角±α，當(dāng)k為奇數(shù)時，需要變換函數(shù)類型；當(dāng)k為偶數(shù)時，函數(shù)類型不變.

②符號看象限：誘導(dǎo)公式的正負(fù)號是視α為銳角時得到的函數(shù)值的正負(fù)而定.

③一全正，二正弦，三兩切，四余弦：這是用來記憶各類三角函數(shù)在各個象限里的正負(fù)號規(guī)律.

此外，對于一系列復(fù)雜的三角函數(shù)公式（如：sinα=3sinα-4sin3α、sinαcosβ=等）、三角函數(shù)的半角公式、多倍角公式及和差化積公式等，我們必須實施推導(dǎo)教學(xué)，將各類三角函數(shù)公式的推導(dǎo)過程傳授給學(xué)生，使學(xué)生在遺忘的情況下，也可以進(jìn)行自主推導(dǎo)和驗證，從而達(dá)到高效記憶的效果.