導(dǎo)言：作為寫作愛好者，不可錯過為您精心挑選的10篇函數(shù)最值的應(yīng)用，它們將為您的寫作提供全新的視角，我們衷心期待您的閱讀，并希望這些內(nèi)容能為您提供靈感和參考。

篇1

中圖分類號:F224 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1004-4914（2011）12-082-02

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)研究、經(jīng)營管理中，經(jīng)常要遇到在一定條件下，怎樣用料最省、產(chǎn)量最多、效率最高、成本最低等問題，這些問題在數(shù)學(xué)上有時可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值或最小值的問題。隨著市場經(jīng)濟的不斷發(fā)展，利用數(shù)學(xué)知識解決經(jīng)濟問題顯得越來越重要，運用微分中的最值可以對經(jīng)濟活動中的實際問題進(jìn)行最優(yōu)化分析，從而為企業(yè)經(jīng)營者的科學(xué)決策提供依據(jù)。

一、最值的概念

1.最大值。設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，x0為區(qū)間[a,b]上某一點。當(dāng)對于任意x∈[a,b]，有f（x）≤f（x0），則稱f（x0）為f（x）在[a,b]上的最大值，稱點x0為f（x）在[a,b]上的最大值點。

2.最小值。設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，x0為區(qū)間[a,b]上某一點。當(dāng)對于任意x∈[a,b]，有f（x）≥f（x0），則稱f（x0）為f（x）在[a,b]上的最小值，稱點x0為f（x）在[a,b]上的最小值點。

最大值和最小值統(tǒng)稱為最值。

二、最值在經(jīng)濟中的應(yīng)用

最優(yōu)化問題是經(jīng)濟管理活動的核心，各種最優(yōu)化問題也是微積分中最關(guān)心的問題之一，例如，在一定條件下，使成本最低，收入最多，利潤最大，費用最省等等。下面介紹函數(shù)的最值在經(jīng)濟效益最優(yōu)化方面的若干應(yīng)用。

1.最大利潤問題。

例1：某工廠在一個月生產(chǎn)某產(chǎn)品Q件時, 總成本為C（Q）=5Q+200（萬元），得到的收益為R（Q）=10Q-0.01Q2（萬元），問一個月生產(chǎn)多少產(chǎn)品時, 所獲利潤最大?

解：由題設(shè)，知利潤為

L（Q）=R（Q）-C（Q）=5Q-0.01Q2-200（0

顯然最大利潤一定在（0，+∞）內(nèi)取得。

令L'（Q）=5-0.02Q=0，

得Q=250。又由

L''（Q）=-0.02

所以L（250）=425（萬元）為L的一個極大值。

從而一個月生產(chǎn)250件產(chǎn)品時，可取得最大利潤425萬元。

2.最大收益問題。

例2：某商品的需求量Q是價格p的函數(shù)Q=Q（p）=75-p2，問p為何值時，總收益最大？

解：總收益R（p）=pQ=75P-P3，（p>0）

令R'（p）=75-3p3=0，

得p=5，又

R''（p）=-6p?圯R''（5）

從而R（5）=250，為收益R（p）的極大值。

即當(dāng)價格為5時，有最大收益250。

3．經(jīng)濟批量問題。

例3：某商場每年銷售某商品a件，分為x批采購進(jìn)貨，已知每批采購費用為b元，而未售商品的庫存費用為c元/年?件。設(shè)銷售商品是均勻的，問分多少批進(jìn)貨時，才能使以上兩種費用的總和為最??？(a,b,c為常數(shù)，且a,b,c>0）。

解：顯然，采購進(jìn)貨的費用W1（x）bx，

兩次求導(dǎo)：C'（Q）=-6+2Q

令C'（Q）=0 則Q=3

當(dāng)Q=3時，平均成本最低。

最小的平均成本C（Q）=15-18+9=6

而邊際成本函數(shù)C'（Q）=15-12Q+3Q2

當(dāng)Q=3時，C'（Q）=15-36+27=6

可見最小平均成本與邊際成本相等。

邊際的意義是：當(dāng)產(chǎn)量在Q的基礎(chǔ)上再增加一個單位時，成本C（Q）的增量。

三、總結(jié)

綜上所述，對經(jīng)營者來說，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用頗為廣泛，而且在日常生活中、生產(chǎn)和科研中，常常會遇到最值的問題，不僅而已，從上面的例子可以看出，對其經(jīng)濟環(huán)節(jié)進(jìn)行定量分析是非常必要的。將數(shù)學(xué)作為分析工具，不但可以給企業(yè)經(jīng)營者提供精確的數(shù)值，而且在分析的過程中，還可以給企業(yè)經(jīng)營者提供新的思路和視角，這也是數(shù)學(xué)應(yīng)用性的具體體現(xiàn)。因此，作為一個合格的企業(yè)經(jīng)營者，應(yīng)該掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析方法，從而為的經(jīng)營決策提供可靠依據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

1.陸慶平.以企業(yè)價值最大化為導(dǎo)向的企業(yè)績效評價體系――基于利益相關(guān)者理論[J].會計研究,2006(3)

2.高哲.淺談微積分在經(jīng)濟中的應(yīng)用[J].中國科技博覽,2009（7）

3.李春萍.導(dǎo)數(shù)與積分在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用[J].商業(yè)視角，2007（5）

4.向菊敏.微積分在經(jīng)濟分析活動中的應(yīng)用[J].科技信息，2009（26）

5.褚衍彪.高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟分析中的運用[J].棗莊學(xué)院學(xué)報，2007（10）

6.譚瑞林，劉月芬.微積分在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用淺析[J].商場現(xiàn)代化,2008（4）

篇2

均值不等式是高中數(shù)學(xué)不等式中的重要內(nèi)容，均值不等式在求函數(shù)最值、解決一些取值范圍問題時運用非常廣泛，是歷年高考考查的重要知識點之一。在實際應(yīng)用時，我們應(yīng)因題而宜地進(jìn)行變換，并注意等號成立的條件，達(dá)到解題的目的，變換題目所給函數(shù)的形式，利用熟悉知識求解是常用的解題技巧，熟練運用該技巧，對于提高思維的靈活性和嚴(yán)密性大有益處。

一、運用均值不等式時應(yīng)注意事項

在解決這一類型的題時需要特別注意的是等號成立的條件，特別是遇到一些函數(shù)本身就有取值限制范圍時，需要根據(jù)函數(shù)合理存在的限制取值范圍再求函數(shù)的最值。

二、把所給函數(shù)巧妙轉(zhuǎn)化成均值不等式后求最值

這是一種比較難掌握的方法，因此運用此法需要具有扎實的基礎(chǔ)知識，敏銳的觀察力。下面舉兩個例子對此法加以介紹。

欲靈活應(yīng)用此法，需要多練習(xí)，并在解題的過程中體會總結(jié)規(guī)律，達(dá)到孰能生巧，總之，遇到此類型的題，最重要的是需配出相應(yīng)的形式。

三、結(jié)語

以上通過幾個實例簡單介紹了利用均值不等式求最值問題需要注意的一些事項，但對于具體題目，有時可能有多種解題方法，究竟如何求出函數(shù)合理的最值，還需要我們在教和學(xué)的實踐中不斷探索和總結(jié)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王影.求函數(shù)值域的幾種常用方法.解題技巧與方法，2010.

[2]蔓，孫錳.妙用均值不等式求多元函數(shù)的最值.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2010，（4）.

[3]魏福軍.用均值不等式求最值須注意的幾點.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2003，（1）.

[4]徐麗聘.利用均值不等式求最值.求實篇――學(xué)習(xí)方法總結(jié)，2009，（9）.

[5]劉新良，李慶社.十二種求函數(shù)值域的常用方法.高中生，2006，（18）.

篇3

例1 （2012年江蘇揚州）如圖1，線段AB的長為2，C為AB上一個動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE長的最小值是 .

圖1

解析：設(shè)AC=x，則BC=2-x.

ACD和BCE都是等腰直角三角形，

∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=■x，CE=■（2-x）.

∠DCE=90°.

DE2=DC2+CE2=（■x）2+[■?（2-x）]2=x2-2x+2=（x-1）2+1.

當(dāng)x=1時，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1.

例2 （2012年寧夏）如圖2，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一點（P與B、C不重合），過點P作APPE，垂足為P，PE交CD于點E.

（1）連接AE，當(dāng)APE與ADE全等時，求BP的長；

（2）若設(shè)BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式.當(dāng)x取何值時，y的值最大？最大值是多少？

（3）若PE∥BD，試求出此時BP的長.

圖2

分析：（1）由APE≌ADE，可得AP=AD=3.在RtABP中，運用勾股定理即可求得BP的長.

（2）由APPE，得RtABP∽RtPCE. 根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可列式得y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后化為頂點式即可求得當(dāng)x=■時，y的值最大，最大值是■.

（3）由PE∥BD，得CPE∽CBD.根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可列式求得BP的長.

解：（1）APE≌ADE，AP=AD=3.

在RtABP中，AB=2，BP=■=■=■.

（2）APPE，RtABP∽RtPCE.

■=■，即■=■.

y=-■x2+■x.

y=-■x2+■x=-■（x-■）2+■，

當(dāng)x=■時，y的值最大，最大值是■.

（3）設(shè)BP=x， 由（2）得CE=-■x2+■x.

PE∥BD，CPE∽CBD.

■=■， 即■=■.

將上式化簡，得3x2-13x+12=0.解得x1=■或x2=3（不合題意，舍去）.

當(dāng)PE∥BD時， BP=■.

二、求線段積的最值

例3 （2012年江蘇蘇州）如圖3，已知半徑為2的O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C，PC與O交于點D，連接PA、PB，設(shè)PC的長為x（2

（1）當(dāng)x=■時，求弦PA、PB的長度；

（2）當(dāng)x為何值時，PD?CD的值最大？最大值是多少？

圖3

分析：（1）由直線l與圓相切于點A，且AB為圓的直徑，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB垂直于直線l.又PC垂直于直線l，根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行，得到AB與PC平行. 根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對內(nèi)錯角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩個三角形相似可得出PCA與APB相似.由相似得比例式，將PC及直徑AB的長代入比例式求出PA的長.在RtAPB中，由AB及PA的長，利用勾股定理即可求出PB的長.

（2）過O作OE垂直于PD，與PD交于點E，由垂徑定理得到E為PD的中點.再由有三個角為直角的四邊形為矩形得到四邊形OACE為矩形.根據(jù)矩形的對邊相等，可得出EC=OA=2.用PC-EC的長表示出PE，根據(jù)PD=2PE表示出PD，再用PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)自變量x的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出所求式子的最大值及此時x的取值.

解：（1）O與直線l相切于點A，AB為O的直徑，ABl.

又PCl，AB∥PC. ∠CPA=∠PAB.

AB為O的直徑，∠APB=90°.

∠PCA=∠APB.PCA∽APB.

■=■，即PA2=PC?AB.

PC=x=■，AB=4，PA=■=■.

在RtAPB中，由勾股定理得PB=■=■=■.

（2）過O作OEPD，垂足為E.

PD是O的弦，OEPD，PE=ED.

在矩形OECA中，CE=OA=2，

PE=ED=x-2.

CD=PC-PD= x-2（x-2）=4-x .

PD?CD=2（x-2）（4-x）=-2x2+12x-16=-2（x-3）2+2.

2

當(dāng)x=3時，PD?CD有最大值，最大值是2.

三、求周長的最值

例4 （2012年四川南充）如圖4，在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點.把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與POQ的兩直角邊分別交于點A、B.

（1）求證：MA=MB；

（2）連接AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，AOB的周長是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

圖4

分析：（1）連接OM，證明PMA和OMB全等即可.

（2） 由（1）可得OP=OA+PA=OA+OB=4，再令OA=x，AB=y，則在RtAOB中，利用勾股定理得y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8，然后求出最值即可.

解：（1）證明：連接OM .

在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點，

PQ=4■，OM=PM=■PQ=2■，∠POM=∠BOM=∠P=45°.

∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO，

∠PMA=∠OMB.

PMA≌OMB（ASA）. MA=MB.

（2）AOB的周長存在最小值.理由如下：

PMA≌OMB ， PA=OB.

OA+OB=OA+PA=OP=4.

設(shè)OA=x， AB=y，則y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8≥8.

當(dāng)x=2時，y2有最小值8，從而 y的最小值為2■.

AOB的周長存在最小值，其最小值是4+2■.

四、求面積的最值

例5 （2012年四川自貢）如圖5，正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，且始終保持AMMN，當(dāng)BM= cm時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為 cm2.

圖5

解析：設(shè)BM=xcm，則MC=（1-x）cm.

∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，

∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC.

ABM∽MCN，■=■，即■=■，解得CN=x（1-x）.

S四邊形ABCN=■×1×[1+x（1-x）]=

-■x2+■x+■=-■（x-■）2+■.

-■

當(dāng)x=■cm時，S四邊形ABCN最大，最大值是■cm2.

例6 （2012湖南株洲）如圖6，在ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米.M點在線段CA上，從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒.運動時間為t秒.

（1）當(dāng)t為何值時，∠AMN=∠ANM？

（2）當(dāng)t為何值時，AMN的面積最大？并求出這個最大值.

圖6

分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根據(jù)AM=AN，得到關(guān)于t的方程，求出t值即可.

（2）作NHAC于H，證明ANH∽ABC，從而得到比例式，然后用t表示出NH，從而計算AMN的面積得到有關(guān)t的二次函數(shù)，最后求出最值即可.

解：（1）M點從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒，運動時間為t秒，

AM=12-t，AN=2t.

∠AMN=∠ANM，AM=AN，即12-t=2t，解得t=4 秒.

當(dāng)t為4秒時，∠AMN=∠ANM.

（2）如圖6，作NHAC于H，∠NHA=∠C=90°.NH∥BC.

ANH∽ABC.

篇4

總之，只有學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，對其原理認(rèn)真領(lǐng)會、強化通性通法，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題從多層面，多角度進(jìn)行延伸探究，有意識的引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中分析“不變”的本質(zhì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。所以變式教學(xué)要圍繞講的目的性和針對性展開：明確是訓(xùn)練學(xué)生的計算能力，還是深化學(xué)生思維；是進(jìn)一步鞏固基礎(chǔ)，還是提高學(xué)生能力；是提醒學(xué)生哪些地方易錯，還是磨練學(xué)生解題意志。有效地拓展更好的服務(wù)于講，深化了練，提升了課堂的質(zhì)量。高三教學(xué)發(fā)揮變式功能，更是一種有效地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“如何思”“如何想”并走向“自覺地思”“自覺地想”的方式，有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的創(chuàng)新思維，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生分析問題、解決問題和探索創(chuàng)新能力。

篇5

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Six Thinking Methods to Get the Most Value of Trigonometric Function

ZHANG Jianlu

（Yangquan Vocational Secondary School，Yangquan，Shanxi 045000）

Abstract Trigonometric function is an important function in Mathematics， it is closely linked with other mathematical knowledge， and there is often a wide range of applications in the study and research of other mathematical knowledge. In the study of trigonometric function， method for the best values of trigonometric function plays an important role. The correct thinking method in calculating the trigonometric function most value is meaningful to learn the knowledge of the trigonometric function.

Key words Trigonometric function； the most value； thinking method

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。三角函數(shù)是函數(shù)的一種重要的函數(shù)，三角函數(shù)的最值問題包括了對三角函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間基本關(guān)系式、兩角和差以及倍角公式的考查，是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)，有廣泛的實際應(yīng)用，一直是高考命題的熱點。我們從以下六個方面舉例介紹求三角函數(shù)的最值。

1 將已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為 = （ + ） + 的形式，其中“ ”表示“” “”等，再求已知函數(shù)的最值

求三角函數(shù)的最值問題的主要依據(jù)就是正弦、余弦函數(shù)的值域。求三角函數(shù)的最值時，常常通過恒等變換，使它轉(zhuǎn)化為反含同名函數(shù)的各項。而恒等變換，一般要綜合運用同角三角函數(shù)間的關(guān)系、和角、半角、半角的三角函數(shù)及和差化積、積化和差公式等轉(zhuǎn)化為 = （ + ） + 的形式，只要能轉(zhuǎn)化，問題就迎刃而解。

求 = + 的最值。

解： = （ + ）（ + ）

= （ + ）23 = 1

= 1 （1 ） = +

當(dāng) = （）時 = 1，當(dāng) = + （）時 = 。

2 應(yīng)用平均值定理求最值

求函數(shù) = （為銳角）的最大值。

解： = >0

= = 4·≤4（）3 =

當(dāng) = ，即 = 時， = 。

應(yīng)用平均值定理求函數(shù)最值的基本思路就是建立不等式 （）≤或 （）≥，即通過分析將 （）放大或縮小成一個常數(shù)，這就是求最值的基本思維方法——放縮法，平均值定理是放縮法的一種極好手段。

3 應(yīng)用二次函數(shù)判別式求最（極）值

求 = （，，其中為三角形內(nèi)角）的最大值。

解：原函數(shù)化為 = [ ]

+ 2 = 0

= 8 ≥0 ≤≤

當(dāng) = 時， = = ，

所以當(dāng) = = 時， = 。

此題也可用放縮法解

= · ≤

= - （ ）2 + ≤。

注意在用放縮法時，等號必須成立。

4 應(yīng)用函數(shù)的有界性

求 = 的值域。

解：由已知得：（） + （） = ——①

令 = ， =

①式化為 （ + ） =

∣∣≤

解得≤ - 或≥1，所求值域為（，- ]∪[1，）。

5 應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性

已知 = + ， （0，），求的最小值。

解：令 = = ，則（0，）。 = + 。

6 利用數(shù)形結(jié)合

求函數(shù) = 的最值。

圖1

解：原函數(shù)變形為 = 這可看作點（）和（-2，0）的直線的斜率，而是單位圓 + = 1上的動點，由圖1可知，過（-2，0）作圓的切線時，斜率有最值，由幾何性質(zhì)得 = ， = - 。

前面介紹了六種常見的求三角函數(shù)最值的思維方法，但在解題中并不固定于一種方法。如

求 = 的極值，用什么方法好呢？

解：

方法一：原式化為（） + - 4（）（）≥0 ≤≤8。顯然≠，所以用 求出最小值。

方法二：用第一種方法化為 = （ + ） + 的形式，

原式化為 = + · = 0時， = 8。

篇6

利用三角函數(shù)的有界性求三角函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于應(yīng)用三角函數(shù)的公式、性質(zhì)將三角函數(shù)式化為復(fù)角的單名函數(shù)式或某些已知其最值的三角函數(shù)，如|sinx|≤1、|cosx|≤1、|ctgx|≥2，…等基本形式。

例1 求函數(shù)y=的最值。

解：去分母得，3sinx+2ycosx=1-5y，整理得：sin（x+le）=1-5y。

其中l(wèi)e=arctg，即sin（x+le）=。

|sin（x+le）|≤1，≤1。

整理得，21y2-10y-8≤0。

解得≤y≤，故ymax=，ymin=。

例2 求函數(shù)y=（cosx+sinx）（cosx+sinx）。

解：y=sin2x+cos2x+（+1），sinxcosx=sin2x+cos2x+=2sin（2x+le）+。

其中l(wèi)e由cosle=，sinle=決定。

又因為 -1≤sin（2x+le）≤1，所以≤y≤。

即 ymax=，ymin=。

二、用變量代換法求最值

求三角函數(shù)的最值時，有時選取適當(dāng)?shù)淖兞看媸街械娜呛瘮?shù)式，能使問題迎刃而解。但作變量代換時要特別注意式中變量的取值范圍。

例3 求函數(shù)y=的最值。

解：令t=sinx+cosx，（t≠-1），則sinxcosx=。

t=sin（x+），-2≤t≤， 且（t≠-1）。

又y==（t-1），由此可得，ymax=，ymin=-。

例4 求函數(shù)y=-cos2x-4sinx+6的最值。

解：把原函數(shù)變形得y=sin2x-4sinx+5。

設(shè)sinx=t （-1≤t≤1），

則得，y=t2-4t+5=（t-2）2+1。

又-1≤t≤1，當(dāng)t=1時，ymin=2。

當(dāng)t=-1時，ymax=10。

三、應(yīng)用平均值不等式求最值

應(yīng)用平均值不等式來求三角函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于恒等變形，把三角函數(shù)式變?yōu)槟軕?yīng)用平均值不等式的基本形式。

例5 求函數(shù)y=+（a>b>0，0

解：y=+=a2（1+tg2x）+b2（1+ctg2x）=a2+b2+（a2 tg2x+b2ctg2x）≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=（a+b）2，當(dāng)且僅當(dāng)atgx=bctgx，即tg2x=，tgx=時，ymin=（a+b）2。

四、利用幾何圖形性質(zhì)求最值

利用幾何圖形性質(zhì)求最值的特點是直觀、簡潔，將最值問題轉(zhuǎn)化為求直線的斜率問題，求形如y=的最值關(guān)鍵在于把F（f（θ），yθ）=0看作一條曲線的方程，那么y=等于曲線上的動點A（f（θ），g（θ））與定點B（-a，-b）的斜率KAB，要求y的最值，只需在曲線上找一點，使KAB最大或最小。

例6 求函數(shù)y=的最值。

篇7

某些函數(shù)的結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，可以通過適當(dāng)變形，由初等函數(shù)的最值及不等式的性質(zhì)直接觀察得到它的最值。

例1　求y=x3＋2/2＋5暑的最杏值，解析：變形為y＝1=X2＋2/3，故當(dāng)x=0，時，yma

二、反函數(shù)法

由原函數(shù)反解出x=￡(y)，根據(jù)x的范圍求出y的范圍，進(jìn)而得到y(tǒng)的最值的方法稱為反函數(shù)法，此方法適用于能順利求得反函數(shù)的函數(shù)，如形如y=αt＋b/ct＋d(α≠0)的函數(shù)， 類似地，此方法也可推廣到可以解得g(x)=￡(y)，且已知g(x)的取值范圍的函數(shù)，

三、配方法

配方法是求解“可化為二次函數(shù)形式”這一類函數(shù)的最值問題的基本方法，有著廣泛的應(yīng)用，

四、換元法

引入新變量對原函數(shù)式中的代數(shù)式或三角函數(shù)進(jìn)行代換，將所給函數(shù)轉(zhuǎn)化成容易求最值的簡單函數(shù)，進(jìn)而求得最值的方法稱為換元法，形如y=ax+6的函數(shù)求最值常用此法，用換元法解題時要特別注意變元前后自變量的取值范圍要保持一致。 　 　五、不等式法

通過對原函數(shù)式進(jìn)行變形，利用等基本不等式求函數(shù)的最值的方法稱為不等式法，用不等式法求最值時，要注意“一正、二定、三相等”的應(yīng)用條件，即不等式中的兩項必須都為正，兩項的和一定時積有最大值、積一定時和有最小值，必須能取得到最值，

點評：利用不等式法求最值時，要注意函數(shù)取到最值時，相應(yīng)的x的值是否存在，如果不存在，則此最值不能取到，此時要考慮用其他方法來解題，點評：用不等式法和判別式法都只能求出例8中函數(shù)的最小值，如果要求它的最大值，上述方法就不可行了，需要考慮換用其他方法，

七、單調(diào)性法

如果能確定函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，就可以求出該函數(shù)的最值，求解函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題常可試用這種方法，函數(shù)的單調(diào)性可以直接用單調(diào)性的定義來判別，也可結(jié)合函數(shù)的圖像來研究，或者用導(dǎo)數(shù)法來判定。

篇8

最值問題綜合性強，幾乎涉及高中數(shù)學(xué)各個分支，要學(xué)好各個數(shù)學(xué)分支知識，透徹地理解題意，能綜合運用各種數(shù)學(xué)技能，熟練地掌握常用的解題方法，才能收到較好的效果。

（1）代數(shù)法。代數(shù)法包括判別式法（主要是應(yīng)用方程的思想來解決函數(shù)最值問題）配方法（解決二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題）不等式法（基本不等式是求最值問題的重要工具，靈活運用不等式，能有效地解決一些給定約束條件的函數(shù)最值問題）④換元法（利用題設(shè)條件，用換元的方法消去函數(shù)中的一部分變量，將問題化歸為一元函數(shù)的最值，以促成問題順利解決，常用的換元法有代數(shù)換元法和三角換元法）。

①判別法：判別式法是等式與不等式聯(lián)系的重要橋梁，若能在解多元函數(shù)最值過程中巧妙地運用，就能給人一種簡單明快、耳目一新的感覺。而應(yīng)用判別式的核心在于能否合理地構(gòu)造二次方程或二次函數(shù)，還需注意是否能取等號。若函數(shù)可化成一個系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，在a（y）≠0時，由于x，y為實數(shù)，必須有：=[b（y）]—4a（y）c（y）≥0，由此求出y所在的范圍確定函數(shù)最值。

②配方法：配方法多使用于二次函數(shù)中，通過變量代換，能變?yōu)殛P(guān)于t（x）的二次函數(shù)形式，函數(shù)可先配方成為f（x）=a[t（x）—m]2+n的形式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定其最值（此類題的解法關(guān)鍵在于用“配方法”將二次函數(shù)一般式化為頂點式，同時要考慮頂點的橫坐標(biāo)的值是否落在定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)則需考慮函數(shù)的單調(diào)性）。

③不等式法：均值不等式求最值，必須符合“一正、二定、三相”這三個必要條件，因此當(dāng)其中一些條件不滿足時應(yīng)考慮通過恰當(dāng)?shù)暮愕茸冃危惯@些條件得以滿足“和定積最大，積定和最小”，特別是其等號成立的條件。（在滿足基本不等式的條件下，如果變量的和為定值，則積有最大值；變量的積為定值，則和有最小值。本例中計算的目的，是利用隱含在條件之中的和為定值，當(dāng)然這里還需要利用系數(shù)的湊合才能達(dá)到目的，具有一定技巧）

④換元法：換元法又叫變量替換法，即把某個部分看成一個式子，并用一個字母代替，于是使原式變得簡化，使解題過程更簡捷（在利用三角換元法求解問題時，關(guān)鍵還是要在掌握好三角函數(shù)常用關(guān)系式的基礎(chǔ)上，結(jié)合所求解的函數(shù)式，慎重使用）。

（2）數(shù)形結(jié)合法。數(shù)形結(jié)合法是數(shù)學(xué)中的一種重要的思想方法，即考慮函數(shù)的幾何意義，結(jié)合幾何背景，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，解法往往顯得直觀、簡捷。通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解題，有許多的優(yōu)越性。將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的圖形結(jié)合起來，借助幾何圖形活躍解題思路，使解題過程簡化。有時函數(shù)最值也借助數(shù)形結(jié)合方法來求解。

①解析式：解析法是觀察函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)，求解函數(shù)最值的方法。

②函數(shù)性質(zhì)法：函數(shù)性質(zhì)法主要是討論利用已學(xué)函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值等。

③構(gòu)造復(fù)數(shù)法：構(gòu)造復(fù)數(shù)法是在已經(jīng)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)章節(jié)的基礎(chǔ)上，把所求結(jié)論與復(fù)數(shù)的相關(guān)知識聯(lián)系起來，充分利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行求解。

篇9

1、配湊法

例1．已知函數(shù) ，求y的最小值

解：因為 ， ，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 即 時取等號。所以，當(dāng) 時 。

變式1：函數(shù) ，求y的最大值。

解：因為 ，所以 ，則 -4

，當(dāng)且僅當(dāng) 即 時，等號成立，故 -6。

變式2. 當(dāng) 時，求 的最大值。

解：因為 ，所以 ，

，當(dāng)且僅當(dāng) 即 時取等號。所以，當(dāng) 時

評析：當(dāng)題目中給定的函數(shù)形式往往比較簡單，但不符合直接使用基本不等式時，就需要對函數(shù)式用“拆、拼、湊，合”等方法，創(chuàng)造基本不等式的條件和形式，并且在運用基本不等式后有取等號的條件。以上三個例題的函數(shù)式都不能直接利用基本不等式求最值，故需要通過拆或拼來創(chuàng)造運用基本不等式的情境。如（1）中 與 的乘積不是定值，看似無法用基本不等式求解，若將 拆成 即可。（2）可配成 (3)中 與 的和不是定值，若將 拆成 即可。

2、拆項法

例2 已知函數(shù) ， 求y的最小值。

解：因為 ，所以

當(dāng)且僅當(dāng) 即 時，等號成立，故 。

評析：本題采用了拆項法將式子進(jìn)行了變形，然后把分子分母同除以一個含自變量的式子，使分子變?yōu)槌?shù)，此時可對分母使用基本不等式。

3、換元法

例3 求函數(shù) 的最小值。

解：因為 :所以， ，則 ，所以，

，

當(dāng)且僅當(dāng) ，函數(shù)的最小值是 。

評析：本題采用了換元法，將原式轉(zhuǎn)化為可以使用基本不等式求最值的形式。

4、常值代換

例4 已知 且 ，求 的最小值。

解：因為

,當(dāng)且僅當(dāng) 即 時，等號成立。

所以，當(dāng) 時，有最小值是16.

變式訓(xùn)練 已知正數(shù) 滿足 ，求 的最值。

解：將條件 等價轉(zhuǎn)化為 后，常值代換處理即可。

例5 設(shè) ， 為正常數(shù)，則函數(shù) 的最小值是

解析： 本題考查 及“1”的代換等知識，可將原式寫成

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時等號成立。

所以函數(shù) 的最小值是

評析：有些代數(shù)式含有兩個以上的變量，但這些變量又必須同時滿足某些條件，在運用基本不等式求其最值時，往往需要結(jié)合這些變量所滿足的條件和所求最值的代數(shù)式的特點進(jìn)行分析，通過適當(dāng)?shù)淖冃蝸砝没静坏仁角笞钪?，這類問題也往往可以通過代換消元轉(zhuǎn)化為某個變量的函數(shù)形式來求最值。以上幾題均采用了常量1的整體代換，通過這種變形可以轉(zhuǎn)化表達(dá)形式，創(chuàng)造出可用基本不等式解答的條件。

5、重復(fù)使用基本不等式

例6 已知二次函數(shù) （ ）的值域為 ，求 的最小值是

解：由題意知： 即 ,因為 ，

當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立，所以 的最小值是10.

評析：本題連續(xù)兩次使用基本不等式，等號成立的條件都是 ，原題的等號成立，所以3是最小值，因此，特別注意：在連續(xù)使用基本不等式時，等號成立的條件一定要一樣。

6、平方后使用基本不等式

例7 已知 為銳角，求函數(shù) 的最大值。

解：因為 為銳角，所以 為正數(shù)，所以

= 。所以 的最小值是 ，則

7、整體代換

例8 若正數(shù) 滿足 ，則 的取值范圍是

解：由已知 得 ，即

篇10

1.利用二次函數(shù)求最值

利用二次函數(shù)求最值是一種應(yīng)用甚廣的基本方法,其基本思路是將將問題轉(zhuǎn)化為某個變量的二次函數(shù),通過配方,利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值。

例1 設(shè)x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+a=2的兩個實數(shù)根,(x2-2x2)(x2-2x1)的最大值是什么?

解:因為 =a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0,

所以(x1-2x2)(x2-2x1)

=-2x12+5x1x2-2x22

=-2(x1+x2)2+9x1x2 。

因為x1,x2是方程x2+ax+a=2的兩個實數(shù)根,

所以x1+x2=-a,x1?x2=a-2代入配方可得:

(x1-2x2)(x2-2x1)

=-2a2+9a-18 =

根據(jù)平方的非負(fù)性知:當(dāng)a= 時,(x1-2x2)(x2-2x1)的最大值為- 。

2.利用換元求最值

一些函數(shù),特別是在函數(shù)表達(dá)式中含有三角函數(shù)的情形,往往可利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來求函數(shù)的最值,這就是三角換元求最值;其他的換元就是根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點,把某一部分看作一個整體或用一個新變元來代替,達(dá)到化繁為簡,從而使問題得解。

(1)三角換元

例2已知x,y均是正數(shù),x2+y2=1,求x+y的最值。

解:令,

則 所以x+y的最大值為√2,最小值為-√2。

(2)其他換元

例3 已知 的最大值。

解: 當(dāng)且僅當(dāng)x=y= 時取等號,所以 的最大值為2。

3.利用數(shù)形結(jié)合求最值

運用數(shù)形結(jié)合的思想,將函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化成幾何圖形的性質(zhì)問題,通過幾何的有關(guān)知識來解決。這種方法對于最值的解法顯得更直觀、易懂、簡潔,這對于開拓思路,提高和培養(yǎng)分析能力,解決問題的能力有裨益。

例 4 求函數(shù)y=√x4-x2+1+√x4+7x2-4x+13的最小值。

解:因為 y=√x4-x2+1+√x4+7x2-4x+13

=√x2+(x2-1)2+√(x-2)2+(x2+3)2,

所以y可以看作點P(x,x2)到點A(0,1)及點B(2,3)的距離之和。

已知點P(x,x2)在拋物線y=x2上,又由于y=x2與線段A,B有交點,故當(dāng)A,P,B在同一直線上時,距離之和最小,最小值為線段AB的長,所以y的最小值為ymin=√(2-0)+(-3-1)2=√20=2√5。

4.利用基本不等式求最值

不等式和最大值與最小值是密切相關(guān)的。比如要證明某個參數(shù)P的最小a,可先證明P≥a,然后說明P可以取到a,這是利用不等式求最值的基本思路,更為一般的是利用均值不等式,積定求和最小值,和定求積最大值。