導(dǎo)言：作為寫(xiě)作愛(ài)好者，不可錯(cuò)過(guò)為您精心挑選的10篇函數(shù)最值的應(yīng)用，它們將為您的寫(xiě)作提供全新的視角，我們衷心期待您的閱讀，并希望這些內(nèi)容能為您提供靈感和參考。

篇1

中圖分類(lèi)號(hào):F224 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1004-4914（2011）12-082-02

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)研究、經(jīng)營(yíng)管理中，經(jīng)常要遇到在一定條件下，怎樣用料最省、產(chǎn)量最多、效率最高、成本最低等問(wèn)題，這些問(wèn)題在數(shù)學(xué)上有時(shí)可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值或最小值的問(wèn)題。隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題顯得越來(lái)越重要，運(yùn)用微分中的最值可以對(duì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行最優(yōu)化分析，從而為企業(yè)經(jīng)營(yíng)者的科學(xué)決策提供依據(jù)。

一、最值的概念

1.最大值。設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，x0為區(qū)間[a,b]上某一點(diǎn)。當(dāng)對(duì)于任意x∈[a,b]，有f（x）≤f（x0），則稱(chēng)f（x0）為f（x）在[a,b]上的最大值，稱(chēng)點(diǎn)x0為f（x）在[a,b]上的最大值點(diǎn)。

2.最小值。設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，x0為區(qū)間[a,b]上某一點(diǎn)。當(dāng)對(duì)于任意x∈[a,b]，有f（x）≥f（x0），則稱(chēng)f（x0）為f（x）在[a,b]上的最小值，稱(chēng)點(diǎn)x0為f（x）在[a,b]上的最小值點(diǎn)。

最大值和最小值統(tǒng)稱(chēng)為最值。

二、最值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

最優(yōu)化問(wèn)題是經(jīng)濟(jì)管理活動(dòng)的核心，各種最優(yōu)化問(wèn)題也是微積分中最關(guān)心的問(wèn)題之一，例如，在一定條件下，使成本最低，收入最多，利潤(rùn)最大，費(fèi)用最省等等。下面介紹函數(shù)的最值在經(jīng)濟(jì)效益最優(yōu)化方面的若干應(yīng)用。

1.最大利潤(rùn)問(wèn)題。

例1：某工廠在一個(gè)月生產(chǎn)某產(chǎn)品Q(chēng)件時(shí), 總成本為C（Q）=5Q+200（萬(wàn)元），得到的收益為R（Q）=10Q-0.01Q2（萬(wàn)元），問(wèn)一個(gè)月生產(chǎn)多少產(chǎn)品時(shí), 所獲利潤(rùn)最大?

解：由題設(shè)，知利潤(rùn)為

L（Q）=R（Q）-C（Q）=5Q-0.01Q2-200（0

顯然最大利潤(rùn)一定在（0，+∞）內(nèi)取得。

令L'（Q）=5-0.02Q=0，

得Q=250。又由

L''（Q）=-0.02

所以L（250）=425（萬(wàn)元）為L(zhǎng)的一個(gè)極大值。

從而一個(gè)月生產(chǎn)250件產(chǎn)品時(shí)，可取得最大利潤(rùn)425萬(wàn)元。

2.最大收益問(wèn)題。

例2：某商品的需求量Q是價(jià)格p的函數(shù)Q=Q（p）=75-p2，問(wèn)p為何值時(shí)，總收益最大？

解：總收益R（p）=pQ=75P-P3，（p>0）

令R'（p）=75-3p3=0，

得p=5，又

R''（p）=-6p?圯R''（5）

從而R（5）=250，為收益R（p）的極大值。

即當(dāng)價(jià)格為5時(shí)，有最大收益250。

3．經(jīng)濟(jì)批量問(wèn)題。

例3：某商場(chǎng)每年銷(xiāo)售某商品a件，分為x批采購(gòu)進(jìn)貨，已知每批采購(gòu)費(fèi)用為b元，而未售商品的庫(kù)存費(fèi)用為c元/年?件。設(shè)銷(xiāo)售商品是均勻的，問(wèn)分多少批進(jìn)貨時(shí)，才能使以上兩種費(fèi)用的總和為最??？(a,b,c為常數(shù)，且a,b,c>0）。

解：顯然，采購(gòu)進(jìn)貨的費(fèi)用W1（x）bx，

兩次求導(dǎo)：C'（Q）=-6+2Q

令C'（Q）=0 則Q=3

當(dāng)Q=3時(shí)，平均成本最低。

最小的平均成本C（Q）=15-18+9=6

而邊際成本函數(shù)C'（Q）=15-12Q+3Q2

當(dāng)Q=3時(shí)，C'（Q）=15-36+27=6

可見(jiàn)最小平均成本與邊際成本相等。

邊際的意義是：當(dāng)產(chǎn)量在Q的基礎(chǔ)上再增加一個(gè)單位時(shí)，成本C（Q）的增量。

三、總結(jié)

綜上所述，對(duì)經(jīng)營(yíng)者來(lái)說(shuō)，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用頗為廣泛，而且在日常生活中、生產(chǎn)和科研中，常常會(huì)遇到最值的問(wèn)題，不僅而已，從上面的例子可以看出，對(duì)其經(jīng)濟(jì)環(huán)節(jié)進(jìn)行定量分析是非常必要的。將數(shù)學(xué)作為分析工具，不但可以給企業(yè)經(jīng)營(yíng)者提供精確的數(shù)值，而且在分析的過(guò)程中，還可以給企業(yè)經(jīng)營(yíng)者提供新的思路和視角，這也是數(shù)學(xué)應(yīng)用性的具體體現(xiàn)。因此，作為一個(gè)合格的企業(yè)經(jīng)營(yíng)者，應(yīng)該掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析方法，從而為的經(jīng)營(yíng)決策提供可靠依據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

1.陸慶平.以企業(yè)價(jià)值最大化為導(dǎo)向的企業(yè)績(jī)效評(píng)價(jià)體系――基于利益相關(guān)者理論[J].會(huì)計(jì)研究,2006(3)

2.高哲.淺談微積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用[J].中國(guó)科技博覽,2009（7）

3.李春萍.導(dǎo)數(shù)與積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用[J].商業(yè)視角，2007（5）

4.向菊敏.微積分在經(jīng)濟(jì)分析活動(dòng)中的應(yīng)用[J].科技信息，2009（26）

5.褚衍彪.高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)分析中的運(yùn)用[J].棗莊學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（10）

6.譚瑞林，劉月芬.微積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用淺析[J].商場(chǎng)現(xiàn)代化,2008（4）

篇2

均值不等式是高中數(shù)學(xué)不等式中的重要內(nèi)容，均值不等式在求函數(shù)最值、解決一些取值范圍問(wèn)題時(shí)運(yùn)用非常廣泛，是歷年高考考查的重要知識(shí)點(diǎn)之一。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，我們應(yīng)因題而宜地進(jìn)行變換，并注意等號(hào)成立的條件，達(dá)到解題的目的，變換題目所給函數(shù)的形式，利用熟悉知識(shí)求解是常用的解題技巧，熟練運(yùn)用該技巧，對(duì)于提高思維的靈活性和嚴(yán)密性大有益處。

一、運(yùn)用均值不等式時(shí)應(yīng)注意事項(xiàng)

在解決這一類(lèi)型的題時(shí)需要特別注意的是等號(hào)成立的條件，特別是遇到一些函數(shù)本身就有取值限制范圍時(shí)，需要根據(jù)函數(shù)合理存在的限制取值范圍再求函數(shù)的最值。

二、把所給函數(shù)巧妙轉(zhuǎn)化成均值不等式后求最值

這是一種比較難掌握的方法，因此運(yùn)用此法需要具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，敏銳的觀察力。下面舉兩個(gè)例子對(duì)此法加以介紹。

欲靈活應(yīng)用此法，需要多練習(xí)，并在解題的過(guò)程中體會(huì)總結(jié)規(guī)律，達(dá)到孰能生巧，總之，遇到此類(lèi)型的題，最重要的是需配出相應(yīng)的形式。

三、結(jié)語(yǔ)

以上通過(guò)幾個(gè)實(shí)例簡(jiǎn)單介紹了利用均值不等式求最值問(wèn)題需要注意的一些事項(xiàng)，但對(duì)于具體題目，有時(shí)可能有多種解題方法，究竟如何求出函數(shù)合理的最值，還需要我們?cè)诮毯蛯W(xué)的實(shí)踐中不斷探索和總結(jié)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王影.求函數(shù)值域的幾種常用方法.解題技巧與方法，2010.

[2]蔓，孫錳.妙用均值不等式求多元函數(shù)的最值.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2010，（4）.

[3]魏福軍.用均值不等式求最值須注意的幾點(diǎn).中學(xué)生數(shù)學(xué)，2003，（1）.

[4]徐麗聘.利用均值不等式求最值.求實(shí)篇――學(xué)習(xí)方法總結(jié)，2009，（9）.

[5]劉新良，李慶社.十二種求函數(shù)值域的常用方法.高中生，2006，（18）.

篇3

例1 （2012年江蘇揚(yáng)州）如圖1，線段AB的長(zhǎng)為2，C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE長(zhǎng)的最小值是 .

圖1

解析：設(shè)AC=x，則BC=2-x.

ACD和BCE都是等腰直角三角形，

∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=■x，CE=■（2-x）.

∠DCE=90°.

DE2=DC2+CE2=（■x）2+[■?（2-x）]2=x2-2x+2=（x-1）2+1.

當(dāng)x=1時(shí)，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1.

例2 （2012年寧夏）如圖2，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一點(diǎn)（P與B、C不重合），過(guò)點(diǎn)P作APPE，垂足為P，PE交CD于點(diǎn)E.

（1）連接AE，當(dāng)APE與ADE全等時(shí)，求BP的長(zhǎng)；

（2）若設(shè)BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式.當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？

（3）若PE∥BD，試求出此時(shí)BP的長(zhǎng).

圖2

分析：（1）由APE≌ADE，可得AP=AD=3.在RtABP中，運(yùn)用勾股定理即可求得BP的長(zhǎng).

（2）由APPE，得RtABP∽R(shí)tPCE. 根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可列式得y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后化為頂點(diǎn)式即可求得當(dāng)x=■時(shí)，y的值最大，最大值是■.

（3）由PE∥BD，得CPE∽CBD.根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可列式求得BP的長(zhǎng).

解：（1）APE≌ADE，AP=AD=3.

在RtABP中，AB=2，BP=■=■=■.

（2）APPE，RtABP∽R(shí)tPCE.

■=■，即■=■.

y=-■x2+■x.

y=-■x2+■x=-■（x-■）2+■，

當(dāng)x=■時(shí)，y的值最大，最大值是■.

（3）設(shè)BP=x， 由（2）得CE=-■x2+■x.

PE∥BD，CPE∽CBD.

■=■， 即■=■.

將上式化簡(jiǎn)，得3x2-13x+12=0.解得x1=■或x2=3（不合題意，舍去）.

當(dāng)PE∥BD時(shí)， BP=■.

二、求線段積的最值

例3 （2012年江蘇蘇州）如圖3，已知半徑為2的O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C，PC與O交于點(diǎn)D，連接PA、PB，設(shè)PC的長(zhǎng)為x（2

（1）當(dāng)x=■時(shí)，求弦PA、PB的長(zhǎng)度；

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，PD?CD的值最大？最大值是多少？

圖3

分析：（1）由直線l與圓相切于點(diǎn)A，且AB為圓的直徑，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB垂直于直線l.又PC垂直于直線l，根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行，得到AB與PC平行. 根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由一對(duì)直角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似可得出PCA與APB相似.由相似得比例式，將PC及直徑AB的長(zhǎng)代入比例式求出PA的長(zhǎng).在RtAPB中，由AB及PA的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出PB的長(zhǎng).

（2）過(guò)O作OE垂直于PD，與PD交于點(diǎn)E，由垂徑定理得到E為PD的中點(diǎn).再由有三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到四邊形OACE為矩形.根據(jù)矩形的對(duì)邊相等，可得出EC=OA=2.用PC-EC的長(zhǎng)表示出PE，根據(jù)PD=2PE表示出PD，再用PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)自變量x的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出所求式子的最大值及此時(shí)x的取值.

解：（1）O與直線l相切于點(diǎn)A，AB為O的直徑，ABl.

又PCl，AB∥PC. ∠CPA=∠PAB.

AB為O的直徑，∠APB=90°.

∠PCA=∠APB.PCA∽APB.

■=■，即PA2=PC?AB.

PC=x=■，AB=4，PA=■=■.

在RtAPB中，由勾股定理得PB=■=■=■.

（2）過(guò)O作OEPD，垂足為E.

PD是O的弦，OEPD，PE=ED.

在矩形OECA中，CE=OA=2，

PE=ED=x-2.

CD=PC-PD= x-2（x-2）=4-x .

PD?CD=2（x-2）（4-x）=-2x2+12x-16=-2（x-3）2+2.

2

當(dāng)x=3時(shí)，PD?CD有最大值，最大值是2.

三、求周長(zhǎng)的最值

例4 （2012年四川南充）如圖4，在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點(diǎn).把一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與POQ的兩直角邊分別交于點(diǎn)A、B.

（1）求證：MA=MB；

（2）連接AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過(guò)程中，AOB的周長(zhǎng)是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖4

分析：（1）連接OM，證明PMA和OMB全等即可.

（2） 由（1）可得OP=OA+PA=OA+OB=4，再令OA=x，AB=y，則在RtAOB中，利用勾股定理得y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8，然后求出最值即可.

解：（1）證明：連接OM .

在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點(diǎn)，

PQ=4■，OM=PM=■PQ=2■，∠POM=∠BOM=∠P=45°.

∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO，

∠PMA=∠OMB.

PMA≌OMB（ASA）. MA=MB.

（2）AOB的周長(zhǎng)存在最小值.理由如下：

PMA≌OMB ， PA=OB.

OA+OB=OA+PA=OP=4.

設(shè)OA=x， AB=y，則y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8≥8.

當(dāng)x=2時(shí)，y2有最小值8，從而 y的最小值為2■.

AOB的周長(zhǎng)存在最小值，其最小值是4+2■.

四、求面積的最值

例5 （2012年四川自貢）如圖5，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AMMN，當(dāng)BM= cm時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為 cm2.

圖5

解析：設(shè)BM=xcm，則MC=（1-x）cm.

∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，

∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC.

ABM∽MCN，■=■，即■=■，解得CN=x（1-x）.

S四邊形ABCN=■×1×[1+x（1-x）]=

-■x2+■x+■=-■（x-■）2+■.

-■

當(dāng)x=■cm時(shí)，S四邊形ABCN最大，最大值是■cm2.

例6 （2012湖南株洲）如圖6，在ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米.M點(diǎn)在線段CA上，從C向A運(yùn)動(dòng)，速度為1米/秒；同時(shí)N點(diǎn)在線段AB上，從A向B運(yùn)動(dòng)，速度為2米/秒.運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，∠AMN=∠ANM？

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，AMN的面積最大？并求出這個(gè)最大值.

圖6

分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根據(jù)AM=AN，得到關(guān)于t的方程，求出t值即可.

（2）作NHAC于H，證明ANH∽ABC，從而得到比例式，然后用t表示出NH，從而計(jì)算AMN的面積得到有關(guān)t的二次函數(shù)，最后求出最值即可.

解：（1）M點(diǎn)從C向A運(yùn)動(dòng)，速度為1米/秒；同時(shí)N點(diǎn)在線段AB上，從A向B運(yùn)動(dòng)，速度為2米/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

AM=12-t，AN=2t.

∠AMN=∠ANM，AM=AN，即12-t=2t，解得t=4 秒.

當(dāng)t為4秒時(shí)，∠AMN=∠ANM.

（2）如圖6，作NHAC于H，∠NHA=∠C=90°.NH∥BC.

ANH∽ABC.

篇4

總之，只有學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)其原理認(rèn)真領(lǐng)會(huì)、強(qiáng)化通性通法，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題從多層面，多角度進(jìn)行延伸探究，有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中分析“不變”的本質(zhì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。所以變式教學(xué)要圍繞講的目的性和針對(duì)性展開(kāi)：明確是訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算能力，還是深化學(xué)生思維；是進(jìn)一步鞏固基礎(chǔ)，還是提高學(xué)生能力；是提醒學(xué)生哪些地方易錯(cuò)，還是磨練學(xué)生解題意志。有效地拓展更好的服務(wù)于講，深化了練，提升了課堂的質(zhì)量。高三教學(xué)發(fā)揮變式功能，更是一種有效地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“如何思”“如何想”并走向“自覺(jué)地思”“自覺(jué)地想”的方式，有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的創(chuàng)新思維，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題和探索創(chuàng)新能力。

篇5

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Six Thinking Methods to Get the Most Value of Trigonometric Function

ZHANG Jianlu

（Yangquan Vocational Secondary School，Yangquan，Shanxi 045000）

Abstract Trigonometric function is an important function in Mathematics， it is closely linked with other mathematical knowledge， and there is often a wide range of applications in the study and research of other mathematical knowledge. In the study of trigonometric function， method for the best values of trigonometric function plays an important role. The correct thinking method in calculating the trigonometric function most value is meaningful to learn the knowledge of the trigonometric function.

Key words Trigonometric function； the most value； thinking method

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。三角函數(shù)是函數(shù)的一種重要的函數(shù)，三角函數(shù)的最值問(wèn)題包括了對(duì)三角函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間基本關(guān)系式、兩角和差以及倍角公式的考查，是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)，有廣泛的實(shí)際應(yīng)用，一直是高考命題的熱點(diǎn)。我們從以下六個(gè)方面舉例介紹求三角函數(shù)的最值。

1 將已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為 = （ + ） + 的形式，其中“ ”表示“” “”等，再求已知函數(shù)的最值

求三角函數(shù)的最值問(wèn)題的主要依據(jù)就是正弦、余弦函數(shù)的值域。求三角函數(shù)的最值時(shí)，常常通過(guò)恒等變換，使它轉(zhuǎn)化為反含同名函數(shù)的各項(xiàng)。而恒等變換，一般要綜合運(yùn)用同角三角函數(shù)間的關(guān)系、和角、半角、半角的三角函數(shù)及和差化積、積化和差公式等轉(zhuǎn)化為 = （ + ） + 的形式，只要能轉(zhuǎn)化，問(wèn)題就迎刃而解。

求 = + 的最值。

解： = （ + ）（ + ）

= （ + ）23 = 1

= 1 （1 ） = +

當(dāng) = （）時(shí) = 1，當(dāng) = + （）時(shí) = 。

2 應(yīng)用平均值定理求最值

求函數(shù) = （為銳角）的最大值。

解： = >0

= = 4·≤4（）3 =

當(dāng) = ，即 = 時(shí)， = 。

應(yīng)用平均值定理求函數(shù)最值的基本思路就是建立不等式 （）≤或 （）≥，即通過(guò)分析將 （）放大或縮小成一個(gè)常數(shù)，這就是求最值的基本思維方法——放縮法，平均值定理是放縮法的一種極好手段。

3 應(yīng)用二次函數(shù)判別式求最（極）值

求 = （，，其中為三角形內(nèi)角）的最大值。

解：原函數(shù)化為 = [ ]

+ 2 = 0

= 8 ≥0 ≤≤

當(dāng) = 時(shí)， = = ，

所以當(dāng) = = 時(shí)， = 。

此題也可用放縮法解

= · ≤

= - （ ）2 + ≤。

注意在用放縮法時(shí)，等號(hào)必須成立。

4 應(yīng)用函數(shù)的有界性

求 = 的值域。

解：由已知得：（） + （） = ——①

令 = ， =

①式化為 （ + ） =

∣∣≤

解得≤ - 或≥1，所求值域?yàn)椋ǎ? ]∪[1，）。

5 應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性

已知 = + ， （0，），求的最小值。

解：令 = = ，則（0，）。 = + 。

6 利用數(shù)形結(jié)合

求函數(shù) = 的最值。

圖1

解：原函數(shù)變形為 = 這可看作點(diǎn)（）和（-2，0）的直線的斜率，而是單位圓 + = 1上的動(dòng)點(diǎn)，由圖1可知，過(guò)（-2，0）作圓的切線時(shí)，斜率有最值，由幾何性質(zhì)得 = ， = - 。

前面介紹了六種常見(jiàn)的求三角函數(shù)最值的思維方法，但在解題中并不固定于一種方法。如

求 = 的極值，用什么方法好呢？

解：

方法一：原式化為（） + - 4（）（）≥0 ≤≤8。顯然≠，所以用 求出最小值。

方法二：用第一種方法化為 = （ + ） + 的形式，

原式化為 = + · = 0時(shí)， = 8。

篇6

利用三角函數(shù)的有界性求三角函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于應(yīng)用三角函數(shù)的公式、性質(zhì)將三角函數(shù)式化為復(fù)角的單名函數(shù)式或某些已知其最值的三角函數(shù)，如|sinx|≤1、|cosx|≤1、|ctgx|≥2，…等基本形式。

例1 求函數(shù)y=的最值。

解：去分母得，3sinx+2ycosx=1-5y，整理得：sin（x+le）=1-5y。

其中l(wèi)e=arctg，即sin（x+le）=。

|sin（x+le）|≤1，≤1。

整理得，21y2-10y-8≤0。

解得≤y≤，故ymax=，ymin=。

例2 求函數(shù)y=（cosx+sinx）（cosx+sinx）。

解：y=sin2x+cos2x+（+1），sinxcosx=sin2x+cos2x+=2sin（2x+le）+。

其中l(wèi)e由cosle=，sinle=決定。

又因?yàn)?-1≤sin（2x+le）≤1，所以≤y≤。

即 ymax=，ymin=。

二、用變量代換法求最值

求三角函數(shù)的最值時(shí)，有時(shí)選取適當(dāng)?shù)淖兞看媸街械娜呛瘮?shù)式，能使問(wèn)題迎刃而解。但作變量代換時(shí)要特別注意式中變量的取值范圍。

例3 求函數(shù)y=的最值。

解：令t=sinx+cosx，（t≠-1），則sinxcosx=。

t=sin（x+），-2≤t≤， 且（t≠-1）。

又y==（t-1），由此可得，ymax=，ymin=-。

例4 求函數(shù)y=-cos2x-4sinx+6的最值。

解：把原函數(shù)變形得y=sin2x-4sinx+5。

設(shè)sinx=t （-1≤t≤1），

則得，y=t2-4t+5=（t-2）2+1。

又-1≤t≤1，當(dāng)t=1時(shí)，ymin=2。

當(dāng)t=-1時(shí)，ymax=10。

三、應(yīng)用平均值不等式求最值

應(yīng)用平均值不等式來(lái)求三角函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于恒等變形，把三角函數(shù)式變?yōu)槟軕?yīng)用平均值不等式的基本形式。

例5 求函數(shù)y=+（a>b>0，0

解：y=+=a2（1+tg2x）+b2（1+ctg2x）=a2+b2+（a2 tg2x+b2ctg2x）≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=（a+b）2，當(dāng)且僅當(dāng)atgx=bctgx，即tg2x=，tgx=時(shí)，ymin=（a+b）2。

四、利用幾何圖形性質(zhì)求最值

利用幾何圖形性質(zhì)求最值的特點(diǎn)是直觀、簡(jiǎn)潔，將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線的斜率問(wèn)題，求形如y=的最值關(guān)鍵在于把F（f（θ），yθ）=0看作一條曲線的方程，那么y=等于曲線上的動(dòng)點(diǎn)A（f（θ），g（θ））與定點(diǎn)B（-a，-b）的斜率KAB，要求y的最值，只需在曲線上找一點(diǎn)，使KAB最大或最小。

例6 求函數(shù)y=的最值。

篇7

某些函數(shù)的結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，可以通過(guò)適當(dāng)變形，由初等函數(shù)的最值及不等式的性質(zhì)直接觀察得到它的最值。

例1　求y=x3＋2/2＋5暑的最杏值，解析：變形為y＝1=X2＋2/3，故當(dāng)x=0，時(shí)，yma

二、反函數(shù)法

由原函數(shù)反解出x=￡(y)，根據(jù)x的范圍求出y的范圍，進(jìn)而得到y(tǒng)的最值的方法稱(chēng)為反函數(shù)法，此方法適用于能順利求得反函數(shù)的函數(shù)，如形如y=αt＋b/ct＋d(α≠0)的函數(shù)， 類(lèi)似地，此方法也可推廣到可以解得g(x)=￡(y)，且已知g(x)的取值范圍的函數(shù)，

三、配方法

配方法是求解“可化為二次函數(shù)形式”這一類(lèi)函數(shù)的最值問(wèn)題的基本方法，有著廣泛的應(yīng)用，

四、換元法

引入新變量對(duì)原函數(shù)式中的代數(shù)式或三角函數(shù)進(jìn)行代換，將所給函數(shù)轉(zhuǎn)化成容易求最值的簡(jiǎn)單函數(shù)，進(jìn)而求得最值的方法稱(chēng)為換元法，形如y=ax+6的函數(shù)求最值常用此法，用換元法解題時(shí)要特別注意變?cè)昂笞宰兞康娜≈捣秶３忠恢隆?　 　五、不等式法

通過(guò)對(duì)原函數(shù)式進(jìn)行變形，利用等基本不等式求函數(shù)的最值的方法稱(chēng)為不等式法，用不等式法求最值時(shí)，要注意“一正、二定、三相等”的應(yīng)用條件，即不等式中的兩項(xiàng)必須都為正，兩項(xiàng)的和一定時(shí)積有最大值、積一定時(shí)和有最小值，必須能取得到最值，

點(diǎn)評(píng)：利用不等式法求最值時(shí)，要注意函數(shù)取到最值時(shí)，相應(yīng)的x的值是否存在，如果不存在，則此最值不能取到，此時(shí)要考慮用其他方法來(lái)解題，點(diǎn)評(píng)：用不等式法和判別式法都只能求出例8中函數(shù)的最小值，如果要求它的最大值，上述方法就不可行了，需要考慮換用其他方法，

七、單調(diào)性法

如果能確定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，就可以求出該函數(shù)的最值，求解函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題?？稍囉眠@種方法，函數(shù)的單調(diào)性可以直接用單調(diào)性的定義來(lái)判別，也可結(jié)合函數(shù)的圖像來(lái)研究，或者用導(dǎo)數(shù)法來(lái)判定。

篇8

最值問(wèn)題綜合性強(qiáng)，幾乎涉及高中數(shù)學(xué)各個(gè)分支，要學(xué)好各個(gè)數(shù)學(xué)分支知識(shí)，透徹地理解題意，能綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)技能，熟練地掌握常用的解題方法，才能收到較好的效果。

（1）代數(shù)法。代數(shù)法包括判別式法（主要是應(yīng)用方程的思想來(lái)解決函數(shù)最值問(wèn)題）配方法（解決二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問(wèn)題）不等式法（基本不等式是求最值問(wèn)題的重要工具，靈活運(yùn)用不等式，能有效地解決一些給定約束條件的函數(shù)最值問(wèn)題）④換元法（利用題設(shè)條件，用換元的方法消去函數(shù)中的一部分變量，將問(wèn)題化歸為一元函數(shù)的最值，以促成問(wèn)題順利解決，常用的換元法有代數(shù)換元法和三角換元法）。

①判別法：判別式法是等式與不等式聯(lián)系的重要橋梁，若能在解多元函數(shù)最值過(guò)程中巧妙地運(yùn)用，就能給人一種簡(jiǎn)單明快、耳目一新的感覺(jué)。而應(yīng)用判別式的核心在于能否合理地構(gòu)造二次方程或二次函數(shù)，還需注意是否能取等號(hào)。若函數(shù)可化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，在a（y）≠0時(shí)，由于x，y為實(shí)數(shù)，必須有：=[b（y）]—4a（y）c（y）≥0，由此求出y所在的范圍確定函數(shù)最值。

②配方法：配方法多使用于二次函數(shù)中，通過(guò)變量代換，能變?yōu)殛P(guān)于t（x）的二次函數(shù)形式，函數(shù)可先配方成為f（x）=a[t（x）—m]2+n的形式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定其最值（此類(lèi)題的解法關(guān)鍵在于用“配方法”將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式，同時(shí)要考慮頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值是否落在定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)則需考慮函數(shù)的單調(diào)性）。

③不等式法：均值不等式求最值，必須符合“一正、二定、三相”這三個(gè)必要條件，因此當(dāng)其中一些條件不滿(mǎn)足時(shí)應(yīng)考慮通過(guò)恰當(dāng)?shù)暮愕茸冃?，使這些條件得以滿(mǎn)足“和定積最大，積定和最小”，特別是其等號(hào)成立的條件。（在滿(mǎn)足基本不等式的條件下，如果變量的和為定值，則積有最大值；變量的積為定值，則和有最小值。本例中計(jì)算的目的，是利用隱含在條件之中的和為定值，當(dāng)然這里還需要利用系數(shù)的湊合才能達(dá)到目的，具有一定技巧）

④換元法：換元法又叫變量替換法，即把某個(gè)部分看成一個(gè)式子，并用一個(gè)字母代替，于是使原式變得簡(jiǎn)化，使解題過(guò)程更簡(jiǎn)捷（在利用三角換元法求解問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵還是要在掌握好三角函數(shù)常用關(guān)系式的基礎(chǔ)上，結(jié)合所求解的函數(shù)式，慎重使用）。

（2）數(shù)形結(jié)合法。數(shù)形結(jié)合法是數(shù)學(xué)中的一種重要的思想方法，即考慮函數(shù)的幾何意義，結(jié)合幾何背景，把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，解法往往顯得直觀、簡(jiǎn)捷。通過(guò)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來(lái)解題，有許多的優(yōu)越性。將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，借助幾何圖形活躍解題思路，使解題過(guò)程簡(jiǎn)化。有時(shí)函數(shù)最值也借助數(shù)形結(jié)合方法來(lái)求解。

①解析式：解析法是觀察函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)，求解函數(shù)最值的方法。

②函數(shù)性質(zhì)法：函數(shù)性質(zhì)法主要是討論利用已學(xué)函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值等。

③構(gòu)造復(fù)數(shù)法：構(gòu)造復(fù)數(shù)法是在已經(jīng)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)章節(jié)的基礎(chǔ)上，把所求結(jié)論與復(fù)數(shù)的相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，充分利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行求解。

篇9

1、配湊法

例1．已知函數(shù) ，求y的最小值

解：因?yàn)?， ，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)取等號(hào)。所以，當(dāng) 時(shí) 。

變式1：函數(shù) ，求y的最大值。

解：因?yàn)?，所以 ，則 -4

，當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)，等號(hào)成立，故 -6。

變式2. 當(dāng) 時(shí)，求 的最大值。

解：因?yàn)?，所以 ，

，當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)取等號(hào)。所以，當(dāng) 時(shí)

評(píng)析：當(dāng)題目中給定的函數(shù)形式往往比較簡(jiǎn)單，但不符合直接使用基本不等式時(shí)，就需要對(duì)函數(shù)式用“拆、拼、湊，合”等方法，創(chuàng)造基本不等式的條件和形式，并且在運(yùn)用基本不等式后有取等號(hào)的條件。以上三個(gè)例題的函數(shù)式都不能直接利用基本不等式求最值，故需要通過(guò)拆或拼來(lái)創(chuàng)造運(yùn)用基本不等式的情境。如（1）中 與 的乘積不是定值，看似無(wú)法用基本不等式求解，若將 拆成 即可。（2）可配成 (3)中 與 的和不是定值，若將 拆成 即可。

2、拆項(xiàng)法

例2 已知函數(shù) ， 求y的最小值。

解：因?yàn)?，所以

當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)，等號(hào)成立，故 。

評(píng)析：本題采用了拆項(xiàng)法將式子進(jìn)行了變形，然后把分子分母同除以一個(gè)含自變量的式子，使分子變?yōu)槌?shù)，此時(shí)可對(duì)分母使用基本不等式。

3、換元法

例3 求函數(shù) 的最小值。

解：因?yàn)?:所以， ，則 ，所以，

，

當(dāng)且僅當(dāng) ，函數(shù)的最小值是 。

評(píng)析：本題采用了換元法，將原式轉(zhuǎn)化為可以使用基本不等式求最值的形式。

4、常值代換

例4 已知 且 ，求 的最小值。

解：因?yàn)?/p>

,當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)，等號(hào)成立。

所以，當(dāng) 時(shí)，有最小值是16.

變式訓(xùn)練 已知正數(shù) 滿(mǎn)足 ，求 的最值。

解：將條件 等價(jià)轉(zhuǎn)化為 后，常值代換處理即可。

例5 設(shè) ， 為正常數(shù)，則函數(shù) 的最小值是

解析： 本題考查 及“1”的代換等知識(shí)，可將原式寫(xiě)成

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號(hào)成立。

所以函數(shù) 的最小值是

評(píng)析：有些代數(shù)式含有兩個(gè)以上的變量，但這些變量又必須同時(shí)滿(mǎn)足某些條件，在運(yùn)用基本不等式求其最值時(shí)，往往需要結(jié)合這些變量所滿(mǎn)足的條件和所求最值的代數(shù)式的特點(diǎn)進(jìn)行分析，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃蝸?lái)利用基本不等式求最值，這類(lèi)問(wèn)題也往往可以通過(guò)代換消元轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的函數(shù)形式來(lái)求最值。以上幾題均采用了常量1的整體代換，通過(guò)這種變形可以轉(zhuǎn)化表達(dá)形式，創(chuàng)造出可用基本不等式解答的條件。

5、重復(fù)使用基本不等式

例6 已知二次函數(shù) （ ）的值域?yàn)?，求 的最小值是

解：由題意知： 即 ,因?yàn)?，

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，所以 的最小值是10.

評(píng)析：本題連續(xù)兩次使用基本不等式，等號(hào)成立的條件都是 ，原題的等號(hào)成立，所以3是最小值，因此，特別注意：在連續(xù)使用基本不等式時(shí)，等號(hào)成立的條件一定要一樣。

6、平方后使用基本不等式

例7 已知 為銳角，求函數(shù) 的最大值。

解：因?yàn)?為銳角，所以 為正數(shù)，所以

= 。所以 的最小值是 ，則

7、整體代換

例8 若正數(shù) 滿(mǎn)足 ，則 的取值范圍是

解：由已知 得 ，即

篇10

1.利用二次函數(shù)求最值

利用二次函數(shù)求最值是一種應(yīng)用甚廣的基本方法,其基本思路是將將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的二次函數(shù),通過(guò)配方,利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值。

例1 設(shè)x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+a=2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,(x2-2x2)(x2-2x1)的最大值是什么?

解:因?yàn)?=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0,

所以(x1-2x2)(x2-2x1)

=-2x12+5x1x2-2x22

=-2(x1+x2)2+9x1x2 。

因?yàn)閤1,x2是方程x2+ax+a=2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

所以x1+x2=-a,x1?x2=a-2代入配方可得:

(x1-2x2)(x2-2x1)

=-2a2+9a-18 =

根據(jù)平方的非負(fù)性知:當(dāng)a= 時(shí),(x1-2x2)(x2-2x1)的最大值為- 。

2.利用換元求最值

一些函數(shù),特別是在函數(shù)表達(dá)式中含有三角函數(shù)的情形,往往可利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來(lái)求函數(shù)的最值,這就是三角換元求最值;其他的換元就是根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn),把某一部分看作一個(gè)整體或用一個(gè)新變?cè)獊?lái)代替,達(dá)到化繁為簡(jiǎn),從而使問(wèn)題得解。

(1)三角換元

例2已知x,y均是正數(shù),x2+y2=1,求x+y的最值。

解:令,

則 所以x+y的最大值為√2,最小值為-√2。

(2)其他換元

例3 已知 的最大值。

解: 當(dāng)且僅當(dāng)x=y= 時(shí)取等號(hào),所以 的最大值為2。

3.利用數(shù)形結(jié)合求最值

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,將函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何圖形的性質(zhì)問(wèn)題,通過(guò)幾何的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決。這種方法對(duì)于最值的解法顯得更直觀、易懂、簡(jiǎn)潔,這對(duì)于開(kāi)拓思路,提高和培養(yǎng)分析能力,解決問(wèn)題的能力有裨益。

例 4 求函數(shù)y=√x4-x2+1+√x4+7x2-4x+13的最小值。

解:因?yàn)?y=√x4-x2+1+√x4+7x2-4x+13

=√x2+(x2-1)2+√(x-2)2+(x2+3)2,

所以y可以看作點(diǎn)P(x,x2)到點(diǎn)A(0,1)及點(diǎn)B(2,3)的距離之和。

已知點(diǎn)P(x,x2)在拋物線y=x2上,又由于y=x2與線段A,B有交點(diǎn),故當(dāng)A,P,B在同一直線上時(shí),距離之和最小,最小值為線段AB的長(zhǎng),所以y的最小值為ymin=√(2-0)+(-3-1)2=√20=2√5。

4.利用基本不等式求最值

不等式和最大值與最小值是密切相關(guān)的。比如要證明某個(gè)參數(shù)P的最小a,可先證明P≥a,然后說(shuō)明P可以取到a,這是利用不等式求最值的基本思路,更為一般的是利用均值不等式,積定求和最小值,和定求積最大值。