導(dǎo)言：作為寫(xiě)作愛(ài)好者，不可錯(cuò)過(guò)為您精心挑選的10篇探索平行線的條件，它們將為您的寫(xiě)作提供全新的視角，我們衷心期待您的閱讀，并希望這些內(nèi)容能為您提供靈感和參考。

篇1

關(guān)鍵詞：平行線；判定；北師大版；人教版

目前，中小學(xué)數(shù)學(xué)主要使用北京師范大學(xué)和人民教育出版社兩種教材，其中沿海和新課改城市一般采用北京師范大學(xué)出版社的教材，而北方內(nèi)地城市一般采用人民教育出版社的教材。兩種教材究竟有哪些不同和聯(lián)系呢？本論文將從新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求、章節(jié)引言、內(nèi)容結(jié)構(gòu)和教學(xué)設(shè)計(jì)四方面，闡述兩本教材中《平行線判定》這一課的異曲同工之處。

一、新課程標(biāo)準(zhǔn)要求

1.實(shí)施意見(jiàn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在實(shí)施意見(jiàn)中指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要生活化、情境化和知識(shí)系統(tǒng)性，最終超出生活（生活數(shù)學(xué)）并上升到“笛模型”（書(shū)本數(shù)學(xué)）。

2.課程目標(biāo)

在課程目標(biāo)中要求學(xué)生：探索并掌握相交線、平行線的基本判定，掌握基本的證明方法和基本的作圖技能；體會(huì)通過(guò)合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，運(yùn)用演繹推理加以證明，在多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力。經(jīng)歷從不同角度尋求分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法的過(guò)程，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，掌握分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法。敢于發(fā)表自己的想法、勇于質(zhì)疑，養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、合作交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。

3.內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)

在內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中要求學(xué)生：識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角。掌握基本事實(shí)：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。能用三角尺和直尺過(guò)已知直線外一點(diǎn)畫(huà)這條直線的平行線。探索并證明平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等（或同旁內(nèi)角互補(bǔ)），那么兩直線平行。

二、兩教材中的章節(jié)引言

兩本教材的章節(jié)引言大同小異。都從生活出發(fā)，使用了橋梁圖片，引出本章內(nèi)容。介紹了生活中的一些蘊(yùn)藏相交線和平行線的景象，并介紹了本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。

三、兩教材中的內(nèi)容結(jié)構(gòu)

《相交線與平行線》在初中數(shù)學(xué)北師大版教材中的第38頁(yè)至第60頁(yè)，使用了23頁(yè)的篇幅。而人教版是教材中的第2頁(yè)至第37頁(yè)，使用了36頁(yè)的篇幅?？梢?jiàn)人教版使用的篇幅較多，將命題定理和平移的知識(shí)點(diǎn)也融入里面了。

北師大版的章節(jié)安排有：2.1兩條直線的位置關(guān)系，2.2探索直線平行的條件，2.3平行線的性質(zhì)，2.4用尺規(guī)作角，回顧與思考，復(fù)習(xí)題。人教版的章節(jié)安排有：5.1相交線，5.2平行線及其判定，5.3平行線的性質(zhì)，5.4平移，小結(jié)，復(fù)習(xí)題?？梢?jiàn)章節(jié)安排大致相同，不過(guò)北師大版中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的概念安排在后，在“2.2探索直線平行的條件”中，一起使用了兩個(gè)課時(shí)。人教版中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的概念安排在前，在“5.1 相交線”中，而“5.2平行線及其判定”只使用了一個(gè)課時(shí)。同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角概念的前后，體現(xiàn)了兩本教材的不同思路。

四、兩教材中的教學(xué)設(shè)計(jì)

北師大版的課題名字是“探索直線平行的條件”，課本分兩個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)主要內(nèi)容有：裝修工人如何使木條a平行于木條b？利用三根木條轉(zhuǎn)動(dòng)模型，探索同位角概念和平行線判定（同位角），三角尺畫(huà)平行線，過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)平行線。第二課時(shí)主要內(nèi)容有：內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角概念，探索平行線判定（內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角）。根據(jù)課本內(nèi)容，教學(xué)過(guò)程可以設(shè)計(jì)如圖：

1.情境引入

出示圖片，提問(wèn)學(xué)生“看到這么多圖形，你有什么問(wèn)題和想法想和大家交流一下嗎？”引出本節(jié)課的大問(wèn)題“我們?cè)撊绾闻袛?、作出兩直線平行？”

2.合作探究

學(xué)生討論、交流做平行線的方法，并上臺(tái)展示。學(xué)生1：“在同一平面內(nèi)，做同一條直線的兩條垂線，這兩條垂線平行?！睂W(xué)生2：“用小學(xué)學(xué)過(guò)的知識(shí)，平移三角板畫(huà)出兩條直線平行?！睂W(xué)生3：“作兩組對(duì)邊分別相等的四邊形，得到平行四邊形，平行四邊形的對(duì)邊平行。”學(xué)生4：“在直線一旁，作兩個(gè)相等的角，這兩個(gè)角的另一邊互相平行?！薄?/p>

3.導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)

老師引導(dǎo)學(xué)生，總結(jié)以上方法，并找出共性。引出“同位角”的概念，發(fā)現(xiàn)“同位角相等，兩直線平行”。接著再思考過(guò)直線外一點(diǎn)作平行線的情況，讓學(xué)生體會(huì)平行線的唯一性和傳遞性。

4.矯正深化

安排練習(xí)，糾正認(rèn)知錯(cuò)誤，熟練知識(shí)點(diǎn)。課本安排了隨堂練習(xí)2道，習(xí)題5道。安排的習(xí)題有：求角度的、證明平行的、格子圖作平行線的、折紙作平行的、建筑工人調(diào)整工具作圖的原理等。主要側(cè)重操作。下一節(jié)課再學(xué)習(xí)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”和“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”。

人教版的課題名字叫“平行線及其判定”，課本安排了一個(gè)課時(shí)，在學(xué)習(xí)之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角概念，本課時(shí)的主要內(nèi)容有：利用三根木條轉(zhuǎn)動(dòng)模型思考兩直線位置關(guān)系，過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)平行線，回顧三角尺畫(huà)平行線，平行線判定（同位角），木工用角尺畫(huà)平行線的原理，平行線判定（內(nèi)錯(cuò)角），平行線判定（同旁內(nèi)角）。根據(jù)課本內(nèi)容，教學(xué)過(guò)程可以設(shè)計(jì)如圖：

1.情境引入

出示圖片，提問(wèn)學(xué)生：“看看這些圖形，它們有什么共同特征？”引出本節(jié)課的內(nèi)容“兩直線的位置關(guān)系”。

2.合作探究一

思考三根木條轉(zhuǎn)動(dòng)模型，思考兩直線不相交的情況。學(xué)生體會(huì)兩直線不相交時(shí)候的角與線的位置特征。

3.合作探究二

思考過(guò)直線外一點(diǎn)作平行線的情況，讓學(xué)生體會(huì)平行線的唯一性和傳遞性。學(xué)生畫(huà)平行線體驗(yàn)。

4.合作探究三

思考以前學(xué)習(xí)過(guò)的用三角板畫(huà)平行線的方法，思考其中的原理。學(xué)生通過(guò)操作、演示和交流發(fā)現(xiàn)“同位角相等，兩直線平行”。學(xué)習(xí)完判定后，再思考木工用角尺畫(huà)平行線的原理，讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)判定的內(nèi)涵。

5.合作探究四

思考內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角與同位角的關(guān)系，想想能否用內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的關(guān)系判斷兩直線平行。學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，將內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)轉(zhuǎn)化為同位角相等，發(fā)現(xiàn)新的兩條判定。

6.合作探究五

思考垂直于同一直線的兩條直線的位置關(guān)系，運(yùn)用前面所學(xué)知識(shí)，證明垂直于同一直線的兩條直線平行。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，不斷地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)。

7.矯正深化

安排練習(xí)，糾正認(rèn)知錯(cuò)誤，熟練知識(shí)點(diǎn)。課本安排了練習(xí)3道，習(xí)題12道。安排的習(xí)題有：求角度的、證明平行的、生活中的數(shù)學(xué)原理、區(qū)分三個(gè)判定、三個(gè)判定的聯(lián)系等。主要側(cè)重知識(shí)的應(yīng)用。

五、兩教材中的異曲同工

兩教材的知識(shí)點(diǎn)、內(nèi)容設(shè)計(jì)、章節(jié)引言和情境引入都符合新課標(biāo)要求。兩本教材的課本引言和新課引入都從生活出發(fā)，引入課題，符合新課標(biāo)中教學(xué)生活化和情境化的要求。兩本教材的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)大致相同，循序漸進(jìn)，從生活現(xiàn)象觀察里面所包含的數(shù)學(xué)原理，探索數(shù)學(xué)定理，不過(guò)人教版安排的內(nèi)容比較多，習(xí)題也比較多，所以篇幅也較多，更加重視知識(shí)的系統(tǒng)性。

兩教材在探索平行線的判定過(guò)程中，都使用了木工畫(huà)平行線的情境，但是使用的方法有所不同，北師大版更注重從生活現(xiàn)象探索數(shù)學(xué)的過(guò)程，人教版更注重用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋生活中的現(xiàn)象。例如，北大版利用木工畫(huà)平行線的方法，引導(dǎo)學(xué)生探索平行線的判定，判定是學(xué)生從生活中自己探索發(fā)現(xiàn)的，而不是強(qiáng)加給自己的。而人教版是在探索完平行線的判定以后，讓學(xué)生去解釋木工畫(huà)平行線的合理性，將數(shù)學(xué)知識(shí)融入現(xiàn)實(shí)生活中，服務(wù)于生活。前者重視讓學(xué)生自己去探索新的知識(shí)和方法，通過(guò)老師引導(dǎo)升華為數(shù)學(xué)定理，而后者重視利用自己所學(xué)的知識(shí)，解釋生活中的各種現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)原理解決生活中的問(wèn)題。

兩教材在探索平行線的判定過(guò)程中，都使用了同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的概念，但是使用的方法有所不同，北師大版更注重因探索的需要?jiǎng)?chuàng)造工具，而人教版更注重使用已有的工具探索新的問(wèn)題。例如，北師大版在學(xué)習(xí)平行線的判定之前，沒(méi)有學(xué)習(xí)同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的概念，而是為了方便探索平行線的判定，給有相應(yīng)位置特征的角起個(gè)名字，是在探索中新發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念和工具。而人教版是在之前就學(xué)習(xí)了同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的概念，而且在前面的習(xí)題中，引導(dǎo)學(xué)生，認(rèn)識(shí)和區(qū)分這些角。在探索平行線的判定的時(shí)候，將這些角作為探索的工具，幫助學(xué)生探索平行線的判定。這些工具是為了探索新知而補(bǔ)充的知識(shí)。

篇2

定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他需直線上截得的線段也相等.

注意事項(xiàng)：定理中的平行線組是指每相鄰的兩條距離都相等的特殊的平行線組;它是由三條或三條以上的平行線組成.

定理的作用：可以用來(lái)證明同一直線上的線段相等;可以等分線段.

2.平行線等分線段定理的推論

推論1：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰.

推論2：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊。

記憶方法：“中點(diǎn)”+“平行”得“中點(diǎn)”.

推論的用途：(1)平分已知線段;(2)證明線段的倍分.

重難點(diǎn)分析

本節(jié)的重點(diǎn)是平行線等分線段定理.因?yàn)樗粌H是推證三角形、梯形中位線定理的基礎(chǔ)，而且是第五章中“平行線分線段成比例定理”的基礎(chǔ).

本節(jié)的難點(diǎn)也是平行線等分線段定理.由于學(xué)生初次接觸到平行線等分線段定理，在認(rèn)識(shí)和理解上有一定的難度，在加上平行線等分線段定理的兩個(gè)推論以及各種變式，學(xué)生難免會(huì)有應(yīng)接不暇的感覺(jué)，往往會(huì)有感覺(jué)新鮮有趣但掌握不深的情況發(fā)生，教師在教學(xué)中要加以注意.

教法建議

平行線等分線段定理的引入

生活中有許多平行線等分線段定理的例子，并不陌生，平行線等分線段定理的引入可從下面幾個(gè)角度考慮：

①?gòu)纳顚?shí)例引入，如刻度尺、作業(yè)本、柵欄、等等;

②可用問(wèn)題式引入，開(kāi)始時(shí)設(shè)計(jì)一系列與平行線等分線段定理概念相關(guān)的問(wèn)題由學(xué)生進(jìn)行思考、研究，然后給出平行線等分線段定理和推論.

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

一、教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生掌握平行線等分線段定理及推論.

2.能夠利用平行線等分線段定理任意等分一條已知線段，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力.

3.通過(guò)定理的變式圖形，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

4.通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，體會(huì)圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的和諧美

二、教法設(shè)計(jì)

學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)、討論研究，教師引導(dǎo)分析

三、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：平行線等分線段定理

2.教學(xué)難點(diǎn)：平行線等分線段定理

四、課時(shí)安排

l課時(shí)

五、教具學(xué)具

計(jì)算機(jī)、投影儀、膠片、常用畫(huà)圖工具

六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)

教師復(fù)習(xí)引入，學(xué)生畫(huà)圖探索;師生共同歸納結(jié)論;教師示范作圖，學(xué)生板演練習(xí)

七、教學(xué)步驟

復(fù)習(xí)提問(wèn)

1.什么叫平行線?平行線有什么性質(zhì).

2.什么叫平行四邊形?平行四邊形有什么性質(zhì)?

引入新課

由學(xué)生動(dòng)手做一實(shí)驗(yàn)：每個(gè)同學(xué)拿一張橫格紙，首先觀察橫線之間有什么關(guān)系?(橫線是互相平等的，并且它們之間的距離是相等的)，然后在橫格紙上畫(huà)一條垂直于橫線的直線，看看這條直線被相鄰橫線截成的各線段有什么關(guān)系?(相等，為什么?)這時(shí)在橫格紙上再任畫(huà)一條與橫線相交的直線，測(cè)量它被相鄰橫線截得的線段是否也相等?

(引導(dǎo)學(xué)生把做實(shí)驗(yàn)的條件和得到的結(jié)論寫(xiě)成一個(gè)命題，教師總結(jié)，由此得到平行線等分線段定理)

平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上掛得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.

注意：定理中的“一組平行線”指的是一組具有特殊條件的平行線，即每相鄰兩條平行線間的距離都相等的特殊平行線組，這一點(diǎn)必須使學(xué)生明確.

下面我們以三條平行線為例來(lái)證明這個(gè)定理(由學(xué)生口述已知，求證).

已知：如圖，直線，.

求證：.

分析1：如圖把已知相等的線段平移，與要求證的兩條線段組成三角形(也可應(yīng)用平行線間的平行線段相等得)，通過(guò)全等三角形性質(zhì)，即可得到要證的結(jié)論.

(引導(dǎo)學(xué)生找出另一種證法)

分析2：要證的兩條線段分別是梯形的腰，我們借助于前面常用的輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形，然后再利用這些熟悉的知識(shí)即可證得.

證明：過(guò)點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、，得和，如圖.

，

又，，

為使學(xué)生對(duì)定理加深理解和掌握，把知識(shí)學(xué)活，可讓學(xué)生認(rèn)識(shí)幾種定理的變式圖形，如圖(用計(jì)算機(jī)動(dòng)態(tài)演示).

引導(dǎo)學(xué)生觀察下圖，在梯形中，，，則可得到，由此得出推論1.

推論1：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰.

再引導(dǎo)學(xué)生觀察下圖，在中，，，則可得到，由此得出推論2.

推論2：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊.

注意：推論1和推論2也都是很重要的定理，在今后的論證和計(jì)算中經(jīng)常用到，因此，要求學(xué)生必須掌握好.

接下來(lái)講如何利用平行線等分線段定理來(lái)任意等分一條線段.

例已知：如圖，線段.

求作：線段的五等分點(diǎn).

作法：①作射線.

②在射線上以任意長(zhǎng)順次截取.

③連結(jié).

④過(guò)點(diǎn).、、分別作的平行線、、、，分別交于點(diǎn)、、、.

、、、就是所求的五等分點(diǎn).

(說(shuō)明略，由學(xué)生口述即可)

總結(jié)、擴(kuò)展

小結(jié)：

(l)平行線等分線段定理及推論.

(2)定理的證明只取三條平行線，是在較簡(jiǎn)單的情況下證明的，對(duì)于多于三條的平行線的情況，也可用同樣方法證明.

(3)定理中的“平行線組”，是指每相鄰兩條平行線間的距離都相等的特殊平行線組.

篇3

1、理解平行線的性質(zhì)，掌握他們的圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言，并靈活的進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用。

2、經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

3、體會(huì)幾何知識(shí)來(lái)源于實(shí)踐并反作用于實(shí)踐，認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律是從特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥獾绒q證唯物主義觀點(diǎn)。

重點(diǎn)：理解并應(yīng)用平行線的性質(zhì)。

難點(diǎn)：探究平行線的性質(zhì)。

一、復(fù)習(xí)回顧、引入新課

問(wèn)題：我們學(xué)過(guò)判定兩條直線平行的方法有哪些？

如果將判定方法中的結(jié)論做為條件，是否能夠得到判定方法中的已知。

二、合作交流、探索新知

問(wèn)題1：在自己的橫格作業(yè)本上選擇任意兩條線作為平行線，再用鉛筆任意畫(huà)一條這組平行線的截線，選擇其中一組同位角，猜想它們的關(guān)系如何？驗(yàn)證你的猜想。

問(wèn)題2：同問(wèn)題1，選擇一組內(nèi)錯(cuò)角，猜想兩個(gè)角在數(shù)量上有什么關(guān)系？除了可以用測(cè)量的方法，能否給出理論證明？

問(wèn)題3：根據(jù)問(wèn)題1、2，你能說(shuō)出兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角有什么關(guān)系嗎？能否給出理論證明？

歸納新知：平行線性質(zhì)定理：

（1）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。

（2）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。

（3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

簡(jiǎn)單的說(shuō)成：

（1）

（2）

（3）

問(wèn)題4：如圖，直線a、b被直線c所截，在括號(hào)內(nèi)為下面各小題填空：

（1）性質(zhì)1： a 1

a//b ∠1=∠243

（兩直線平行，同位角相等） b2

（2）性質(zhì)2：

a//b ∠ =∠

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

（3）性質(zhì)3：

a//b ∠ +∠=（）

三、拓展應(yīng)用：

例1：如圖是一塊梯形鐵片的殘余部分，量得

∠A=100°，∠B=115°，梯形另外兩個(gè)角分別是多少度？（圖見(jiàn)課本）

練習(xí)1、如圖，直線a//b,∠1=54°，那么∠2，∠3，∠4各是多少度？

練習(xí)2、如圖，∠ADE=

∠ABC,若∠AED＝42°，

則∠B＝_____，∠C＝_______．

篇4

首先要弄清問(wèn)題，不妨問(wèn)自己這樣一些問(wèn)題：已知條件是什么？待證結(jié)論是什么？它們之間有怎樣的聯(lián)系？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？你能直接運(yùn)用該定理來(lái)解決嗎？如果不能，你能添加輔助線來(lái)構(gòu)造條件嗎？

本題已知兩直線平行，要證明角度之間的數(shù)量關(guān)系：①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ). 所以，本題可以用平行線的性質(zhì)來(lái)解題. 因此抓住平行線性質(zhì)定理的基本圖形“”（兩條平行線+一條截線）是解題的關(guān)鍵. 若題中有基本圖形“”，則直接用平行線的性質(zhì)解題即可. 但是本題中不具備基本圖形，故需要通過(guò)構(gòu)造“”這一基本圖形來(lái)解題. 如何構(gòu)造呢？同學(xué)們通過(guò)嘗試，有人添加了一條平行線，如解法一、二、三；有人添加了一條截線，如解法四、五、六、七，從而構(gòu)造了平行線性質(zhì)定理的基本圖形. 在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用平行線性質(zhì)定理，再結(jié)合周角的定義、三角形內(nèi)角和定理、多邊形內(nèi)角和定理等本題就迎刃而解了.

以上解法看似各不相同，但方法的本質(zhì)都是構(gòu)造平行線性質(zhì)定理的基本圖形. 正所謂“一題多解，多解歸一”. 抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，掌握了以上解題的規(guī)律，我們就能靈活運(yùn)用知識(shí)解題.

篇5

【例1】如圖，AOB是一條直線，∠AOC=90°，∠DOE=90°，問(wèn)圖中互余的角有哪幾對(duì)？哪些角是相等的？

【思考與分析】 由互為余角的定義，只需找出圖中和為90°的角即可.

解： 因?yàn)?∠AOC=90°，∠AOB=180°，

所以 ∠BOC=90°，∠1與∠2、∠3與∠4互余.

因?yàn)?∠DOE=90°， 所以 ∠2與∠3互余.

因?yàn)?∠1+∠DOE+∠4=180°，∠DOE=90°，

所以 ∠1+∠4=90°.即∠1與∠4互余.

可以得到互余的角有：∠1與∠2，∠2與∠3，∠3與∠4，∠4與∠1.

因?yàn)?∠1與∠2互余，∠2與∠3互余，

所以 ∠1=∠3（同角的余角相等）.

因?yàn)椤?與∠4互余，∠3與∠2互余，

所以 ∠2=∠4（同角的余角相等）.

題型二 垂線的定義和性質(zhì)

【例2】如圖，已知FEAB于E，CD是過(guò)E的直線，且∠AEC=120°，則∠DEF= .

【思考與分析】我們仔細(xì)閱讀題目，經(jīng)過(guò)思考發(fā)現(xiàn)有兩種解法，第一種主要利用垂直的定義和對(duì)頂角的性質(zhì)， 因?yàn)椤螦EC和∠DEB是對(duì)頂角，∠AEC=∠DEB=120°，又因?yàn)?FEAB，∠BEF=90°，所以∠DEF=120°-90°=30°；第二種解法主要利用垂直的定義和鄰補(bǔ)角的定義，由∠AEC和∠AED互為鄰補(bǔ)角，可得∠AED=60°， 再由FEAB于E，可得∠AEF=90°，則∠DEF=90°-60°=30°.

解：∠DEF=30°.

【小結(jié)】本題主要考察我們是否掌握了角與角之間的關(guān)系，解答這類題目時(shí)，我們要清楚地知道有關(guān)概念，比如垂直，對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角等.

題型三、互余、互補(bǔ)魅力

【例3】如圖3，先找到長(zhǎng)方形紙的寬DC的中點(diǎn)E，將∠C過(guò)E點(diǎn)折起任意一個(gè)角，折痕是EF，再將∠D過(guò)E點(diǎn)折起，使DE和CE重合，折痕是GE，請(qǐng)?zhí)剿飨铝袉?wèn)題：

（1）∠FEC和∠GEC互為余角嗎？為什么？

（2）∠GEF是直角嗎？為什么？

（3）在上述折紙圖形中，還有哪些互為余角？還有哪些互為補(bǔ)角？

解：（1）由折紙實(shí)驗(yàn)，知∠3=∠1，∠4=∠2，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800

所以∠1+∠2=900，即∠FEC+∠GEC=900，故∠FEC和∠GEC互為余角.

（2）因?yàn)椤螱EF=∠1+∠2=900，，所以∠GEF是直角.

（3）∠3和∠4，∠1和∠EFG互為余角，∠AGF和∠DGF、∠CEC和∠DEC互為補(bǔ)角等等（同學(xué)們還可以舉出一些例子）.

題型四 平行線的性質(zhì)與判定證明

【例4】如圖，如果∠1=∠2，∠C=∠D，那么∠A=∠F嗎？為什么？

【思考與分析】我們從已知條件入手分析題目.∠2和∠3互為對(duì)頂角，∠2=∠3，由∠1=∠2可得∠1=∠3，而∠1和∠3是一對(duì)同位角，由平行線的判定條件可知BD∥CE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠4=∠C.又因?yàn)橐阎螩=∠D，我們可以得到∠4=∠D，從而DF∥CA，從而可以推出∠A=∠F.

解：因?yàn)椤?=∠2，∠2=∠3，

所以∠1=∠3.

所以BD∥CE.

所以∠4=∠C.

又因?yàn)椤螩=∠D，

所以∠4=∠D

所以DF∥CA.

所以∠A=∠F.

題型五 利用平行線性質(zhì)與判定進(jìn)行運(yùn)算

【例5】 如圖，AB∥CD，若∠2=135°，則么∠1的度數(shù)是 （ ）

A.30° B.45° C.60° D.75°

【思考與分析】 本題主要考查平行線的性質(zhì)、互為鄰補(bǔ)角概念.

解：∠2與∠1的鄰補(bǔ)角互為內(nèi)錯(cuò)角，所以∠1=180°-∠2=45°.

【小結(jié)】 解答本題需要注意兩點(diǎn)：第一，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，第二，互為補(bǔ)角與互為鄰補(bǔ)角的區(qū)別.

題型六 學(xué)科間的綜合

【例7】 已知：如圖，∠AOB的兩邊 OA、OB均為平面反光鏡，∠AOB=40°.在OB上有一點(diǎn)P，從P點(diǎn)射出一束光線經(jīng)OA上的Q點(diǎn)反射后，反射光線QR恰好與OB平行，則∠QPB的度數(shù)是（ ）

A.60° B.80° C.100° D.120°

【思考與分析】 觀察題目，我們可以利用平行線的性質(zhì)，“兩直線平行，同位角相等”，以及PQ與OA的夾角，與QR與OA的夾角相等的原則，可得出∠AQR=∠OQP=∠AOB=40°，借助平角的定義，則∠QPB=80°.

解：B.

【小結(jié)】在學(xué)習(xí)的過(guò)程中我們一定要注意學(xué)科間的綜合，這是中考命題的熱.

題型七 探究性問(wèn)題

【例8】 觀察圖1～圖5.

（1）如圖1，若AB∥CD，則∠B+∠D=∠BED，你能說(shuō)明為什么嗎？

反之，若∠B+∠D=∠BED，直線AB與CD有什么位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若將點(diǎn)E移至圖2所示位置，此時(shí)∠B、∠D、∠BED之間有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若將E點(diǎn)移至圖3所示位置，情況又如何？

（4）在圖4中，AB∥CD，∠E+∠G與∠B+∠F+∠D又有何關(guān)系？

（5）在圖5中，若AB∥CD，又得到什么結(jié)論？

分析：要說(shuō)明（1）的結(jié)論成立，若過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則由平行線的特征即可說(shuō)明；其余幾個(gè)問(wèn)題也都可以按照此方法說(shuō)明.

解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則EF∥CD，∠B=∠BEF.所以∠D=∠DEF，而∠BED=∠BEF+∠DEF，故∠B+∠D=∠E.

反之，若∠B+∠D=∠E，則AB∥CD.

理由：如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則∠B=∠BEF，又因?yàn)椤螧+∠D=∠E，所以∠BEF+∠D=∠E.所以∠DEF=∠D，所以EF∥CD，故AB∥CD.

（2）若將點(diǎn)E移至圖2所示位置，此時(shí)有∠B+∠BED+∠D=360°.理由：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則∠B+∠BEF=180°.因?yàn)锳B∥CD，所以EF∥CD.所以∠D+∠DEF=180°，故∠B+∠BED+∠D=360°.

（3）若將E點(diǎn)移至圖3所示位置，此時(shí)有結(jié)論：∠BED+∠D=∠B.

理由：因?yàn)锳B∥CD，所以∠B=∠BMD，而∠BMD=180°-∠DME=∠D+∠E，故∠E+∠D=∠B.

（4）仿照（1）可以猜想：在圖3-4中，若AB∥CD，則有結(jié)論：∠E+∠G=∠B+∠F+∠D.

篇6

課堂上，教者在認(rèn)識(shí)平行線時(shí)，“走進(jìn)生活、發(fā)現(xiàn)生活”，從樓梯欄桿、天花板中讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)幾條邊緣線的奇特之處，激起學(xué)生探索的欲望。學(xué)生各抒己見(jiàn)時(shí)，教師給予鼓勵(lì)和耐心的引導(dǎo)，并做補(bǔ)充，課堂氛圍民主和諧。學(xué)生的有效參與也是有目共睹的，既獨(dú)立思考又相互啟發(fā)，短短數(shù)分鐘的環(huán)節(jié)，所有學(xué)生都能夠自己定義出什么是平行線。

二、課堂互動(dòng)，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)嘗試的欲望

課堂教學(xué)是師生多邊的活動(dòng)過(guò)程。教師要主動(dòng)為學(xué)生參與教學(xué)過(guò)程創(chuàng)設(shè)條件、創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生動(dòng)手操作、動(dòng)眼觀察、動(dòng)腦思考、動(dòng)口表達(dá)。在教學(xué)“如何畫(huà)平行線”時(shí)，教者設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)步驟：

1.教師取出三角尺，任意畫(huà)出一條線，簡(jiǎn)稱“一畫(huà)”。

2.教師拿起直尺，緊靠三角尺直角的一條邊，簡(jiǎn)稱“二靠”。

3.通過(guò)固定的直尺，慢慢移動(dòng)三角尺，逐漸離開(kāi)第一條線，簡(jiǎn)稱“三移”。

4.移出一定的距離后，最后作出另一條直線，也就是第一條線的平行線，簡(jiǎn)稱“四畫(huà)”。

整個(gè)步驟概括為“一畫(huà)二靠三移四畫(huà)”，激發(fā)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐的欲望。畫(huà)出平行線后，教師又以“一合二靠三移四看”來(lái)檢驗(yàn)是否完全平行，讓學(xué)生相互檢驗(yàn)、評(píng)價(jià)。通過(guò)這樣的設(shè)計(jì)，將操作、觀察、思維與語(yǔ)言表達(dá)結(jié)合在一起，不僅使學(xué)生參與學(xué)習(xí)畫(huà)平行線的整個(gè)過(guò)程，而且還啟迪了他們思維的發(fā)展，達(dá)到了數(shù)學(xué)教學(xué)使學(xué)生既長(zhǎng)知識(shí)又長(zhǎng)技能的目的。

三、因材施教，滿足不同學(xué)生求知的需求

既要面向全體，又要考慮個(gè)性差異，課堂必須做到“上不封頂，下要保底”。教師對(duì)教學(xué)進(jìn)行動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)，以滿足不同學(xué)生的知識(shí)需求。教師取出一個(gè)長(zhǎng)方體，讓學(xué)生找出不相交的平行線，很多學(xué)生都會(huì)找出第一面的長(zhǎng)與對(duì)面的高雖然方向不同，但也不會(huì)相交。教師借此完善了平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互為平行。

篇7

(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)

平行線的性質(zhì)：

(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是平行線的性質(zhì)．教材上明確給出了“兩直線平行，同位角相等”推出“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”的證明過(guò)程．而且直接運(yùn)用了“”、“”的推理形式，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)學(xué)習(xí)推理的環(huán)境，對(duì)邏輯推理能力是一個(gè)滲透．因此，這一節(jié)課有著承上啟下的作用，比較重要．學(xué)生對(duì)推理證明的過(guò)程，開(kāi)始可能只是模仿，但在逐漸地接觸過(guò)程中，能最終理解證明的步驟和方法，并能完成有兩步推理證明的填空．

本節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn)是理解平行線的性質(zhì)與判定的區(qū)別，并能在推理中正確地應(yīng)用它們．由于學(xué)生還沒(méi)學(xué)習(xí)過(guò)命題的概念和命題的組成，不知道判定和性質(zhì)的本質(zhì)區(qū)別和聯(lián)系是什么，用的時(shí)候容易出錯(cuò)．在教學(xué)中，可讓學(xué)生通過(guò)應(yīng)用和討論體會(huì)到，如果已知角的關(guān)系，推出兩直線平行，就是平行線的判定；反之，如果由兩直線平行，得出角的關(guān)系，就是平行線的性質(zhì)．

2、教法建議

由上面的重點(diǎn)、難點(diǎn)分析可知，這節(jié)課也是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)和應(yīng)用．要有一定的綜合性，推理能力也有較大的提高．知識(shí)多，也有了一些難度．但考慮到學(xué)生剛接觸幾何，進(jìn)度不可過(guò)快，盡量多創(chuàng)造一些學(xué)習(xí)、應(yīng)用定理、公理的機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生理解平行線的判定與性質(zhì)．

(1)講授新課

首先，提出本節(jié)課的研究問(wèn)題：如果兩直線平行，同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角有什么關(guān)系嗎？探究實(shí)驗(yàn)活動(dòng)還是從畫(huà)平行線開(kāi)始，得出兩直線平行，同位角相等后，再推導(dǎo)證明出其它的兩個(gè)性質(zhì)．教師可以用“”、“”的推理證明形式板書(shū)證明過(guò)程，學(xué)生在理解推理證明的過(guò)程中，欣賞到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拿溃?/p>

(2)綜合應(yīng)用

理解平行線的判定和性質(zhì)區(qū)別，并能在推理過(guò)程中正確地應(yīng)用它們成為了教學(xué)難點(diǎn)．老師可以設(shè)計(jì)一些有兩步推理的證明題，讓學(xué)生填充理由．在應(yīng)用知識(shí)的過(guò)程中，組織學(xué)生進(jìn)行討論，結(jié)合題目的已知和結(jié)論，讓學(xué)生自己總結(jié)出判定和性質(zhì)的區(qū)別，只有自己構(gòu)造起的知識(shí)，才能真正地被靈活應(yīng)用．

(3)適當(dāng)總結(jié)

幾何的學(xué)習(xí)，既可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，，也可以培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力．對(duì)于好的學(xué)生，可以引導(dǎo)他們總結(jié)如何學(xué)好幾何．注意文字語(yǔ)言，圖形語(yǔ)言，符號(hào)語(yǔ)言間的相互轉(zhuǎn)化．對(duì)簡(jiǎn)單的題目，能做到想得明白，寫(xiě)得清楚，書(shū)寫(xiě)逐漸規(guī)范．

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生理解平行線的性質(zhì)，能初步運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．

2.通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和“觀察－猜想－證明”的科學(xué)探索方法，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力和邏輯思維能力．

3.培養(yǎng)學(xué)生的主體意識(shí)，向?qū)W生滲透討論的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和廣闊性．

教學(xué)重點(diǎn)：平行線性質(zhì)的研究和發(fā)現(xiàn)過(guò)程是本節(jié)課的重點(diǎn)．

教學(xué)難點(diǎn)（：正確區(qū)分平行線的性質(zhì)和判定是本節(jié)課的難點(diǎn)．

教學(xué)方法：開(kāi)放式

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)

1.請(qǐng)同學(xué)們先復(fù)習(xí)一下前面所學(xué)過(guò)的平行線的判定方法，并說(shuō)出它們的已知和結(jié)論分別是什么？

2、把這三句話已知和結(jié)論顛倒一下，可得到怎樣的語(yǔ)句？它們正確嗎？

3、是不是原本正確的話，顛倒一下前后順序，得到新的一句話，是否一定正確？試舉例說(shuō)明。

如、“若a=b，則a2=b2”是正確的，但“若a2=b2，則a=b”是錯(cuò)誤的。又如“對(duì)頂角相等”是正確的。但“相等的角是對(duì)頂角”則是錯(cuò)誤的。因此，原本正確的話將它倒過(guò)來(lái)說(shuō)后，它不一定正確，此時(shí)它的正確與否要通過(guò)證明。

二、新課

1、我們先看剛才得到的第一句話“兩直線平行，同位角相等”。先在請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)兩條平行線，然后畫(huà)幾條直線和平行線相交，用量角器測(cè)量一下，它們產(chǎn)生的幾組同位角是否相等？

上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)的是“同位角相等，兩直線平行”，此時(shí)，兩直線是否平行是未知的，要我們通過(guò)同位角是否相等來(lái)判定，即是用來(lái)判定兩條直線是否平行的，故我們稱之為“兩直線平行的判定公理”。而這句話，是“兩直線平行，同位角相等”是已知“平行”從而得到“同位角相等”，因?yàn)槠叫惺亲鳛橐阎獥l件，因此，我們把這句話稱為“平行線的性質(zhì)公理”，即：兩條平行線被第三條線所截，同位角相等。簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角相等。

2、現(xiàn)在我們來(lái)用這個(gè)性質(zhì)公理，來(lái)證明另兩句話的正確性。

想想看，“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”這句話有哪些已知條件，由哪些圖形組成？

已知：如圖，直線a∥b

求證：（1）∠1＝∠4；（2）∠1＋∠2＝180°

證明：a∥b（已知）

∠1=∠3（兩直線平行，同位角相等）

又∠3＝∠4（對(duì)頂角相等）

∠1＝∠4

（2）a∥b（已知）

∠1＝∠3（兩直線平行，同位角相等）

又∠2＋∠3＝180°（鄰補(bǔ)角的定義）

∠1＋∠2＝180°

思考：如何用（1）來(lái)證明（2）？

例1、如圖，是梯形有上底的一部分，已經(jīng)量得∠1＝115°，∠D＝100°，梯形另外兩個(gè)角各是多少度？

解：梯形上下底互相平行

∠A與∠B互補(bǔ)，∠D與∠C互補(bǔ)

∠B＝180°－115°＝65°

∠C－180°－100°＝80°

答：梯形的另外兩個(gè)角分別是65，80°

練習(xí)：P791、2、3

篇8

數(shù)學(xué)是思維的體操，因此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中必須研究教材、研究學(xué)生、研究教法、研究學(xué)法。創(chuàng)設(shè)最佳思維情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有計(jì)劃、有目的地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。牛頓說(shuō)過(guò):“例子有時(shí)比定律更重要”。因此，精選典型習(xí)題，鼓勵(lì)學(xué)生一題多解、一題多變，進(jìn)行歸納、總結(jié)，是培養(yǎng)發(fā)散思維的重要方法。

求線段的比及比例線段的證明是平面幾何重要內(nèi)容之一，也是學(xué)生普遍感到棘手的問(wèn)題。究其原因有二，其一：不知如何構(gòu)造相似三角形；其二：不知如何添加平行線，構(gòu)造平行線分線段成比例。下面結(jié)合一個(gè)例題談?wù)劸唧w做法。

一、一題多解，思維發(fā)散

讓學(xué)生用已學(xué)過(guò)的知識(shí)從不同角度、不同方向，多方位觀察，縱橫聯(lián)想，積極探索，大膽猜測(cè)，這是尋求解決問(wèn)題的各種方案的集中表現(xiàn)。一題多解就是這種理論的具體化。因此一題多解對(duì)于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、主動(dòng)性，拓寬解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和發(fā)散思維能力有著重要的意義。通過(guò)各種方法的討論和比較，可以達(dá)到擇優(yōu)棄劣，提高解題速度和質(zhì)量的目的，有利于學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展。

例：已知，如圖（1），B、E分別是DC和AB的中點(diǎn)， 延長(zhǎng)DE交于點(diǎn)F，求 的值。

創(chuàng)設(shè)思維情境，引發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，教師要精心設(shè)疑、激疑，從而轉(zhuǎn)化為強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)要求。求線段的比必須有相似三角形或平行線分線段，但和所在的三角形不相似，怎樣添加輔助線，構(gòu)造成比例線段呢？啟發(fā)學(xué)生回憶:經(jīng)常過(guò)線段的中點(diǎn)作平行線。

解法一：如圖（1-1），作 交 于點(diǎn) ，

是 的中點(diǎn)， ，又 ， ， 。

解法二：如圖（1-2），作 交 于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， ， 又 是 的中點(diǎn)， ， 。

解法三：如圖（1-3），連 ，過(guò)點(diǎn) 作 分別交 于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， 是 的中點(diǎn)，

，又 是 的中點(diǎn)， ， ， 。

解法四：如圖（1-4），連 ，作 別交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，連

作 別交 于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)，

又 是 的中點(diǎn)， ，又易證 ，

， ， ， ，即 。

解法三：如圖（1-3），作 交 于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， 是 的中點(diǎn)， ， ， ， 。

解法四：如圖（1-4），作 交 于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， ，又 是 的中點(diǎn)， ， ，

展示思維過(guò)程，指導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、探索、總結(jié)，指導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐的基礎(chǔ)上有所發(fā)現(xiàn)、有所突破、有所創(chuàng)新，這是發(fā)展發(fā)散思維的要求。引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)這四種解法的共同之處:過(guò)線段的中點(diǎn)作平行線，構(gòu)造出平行線分線段成比例定理的條件，且三角形中位線在每種解法中都發(fā)揮著巨大的貢獻(xiàn)。如果不過(guò)中點(diǎn)，比如過(guò)不是中點(diǎn)的分 作平行線是否也能求解呢？

解法五：如圖（1-5），作 交 于點(diǎn) ， ， ， ， ， ， ， ，

解法六：如圖（1-6），作 交 于點(diǎn) ， ， ，又 ， ， ， ， ，

調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，人人開(kāi)動(dòng)腦筋，個(gè)個(gè)發(fā)揮聰明才智，不僅達(dá)到提高解題能力的目的，而且把教學(xué)推向一個(gè)新的臺(tái)階。剛才過(guò)三個(gè)“分點(diǎn)”作平行線有種解決方案，那么過(guò)三個(gè)“端點(diǎn)”是否也有解決方案呢？引路指津，誘導(dǎo)思維。

解法七：如圖（1-7），作 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， 是 的中點(diǎn)， ， ， ，

解法八：如圖（1-8），作 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， ， ， ，即 ， 解得

解法九：如圖（1-9），作 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， 是 的中點(diǎn)， ， ， ， ，

解法十：如圖（1-10），作 交的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， 是 的中點(diǎn)， ，

解法十一：如圖（1-11），作 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， ，又 ， ， ，

解法十二：如圖（1-12），作 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ， 是 的中點(diǎn)， ，又 是 的中點(diǎn)， ， ， ， 。

如此一題多解，不僅開(kāi)闊了學(xué)生的視野，提高了學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生的知識(shí)更靈活、更牢固，而且使學(xué)生的發(fā)散思維能力得到鍛煉和培養(yǎng)。

二、一題多變，鞏固發(fā)散

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家G•波利亞曾說(shuō)過(guò)：“一種想法使用過(guò)一次是一個(gè)技巧，經(jīng)過(guò)多次使用，就可以成為一種方法”。一題多變即變式練習(xí)是數(shù)學(xué)中訓(xùn)練思維的常用手段之一，數(shù)學(xué)題目往往能進(jìn)行改造、變換。如題目的多種敘述方式、交換條件和結(jié)論、削弱條件或加強(qiáng)條件等。因此，在例題的選講中，不能僅僅滿足于就題論題，應(yīng)注意多角度、多途徑、全方位地對(duì)例題進(jìn)行分析和挖掘，對(duì)例題進(jìn)行“一題多變”，探索例題的解法和解題規(guī)律。這樣不但能以點(diǎn)串線、舉一反三，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生向?qū)W習(xí)的興趣和積極性，從而將知識(shí)深化，而且能較好地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，防止思維僵化，提高解題能力。

變式1：例題中 、 、 它們各自被分割的兩條線段之比現(xiàn)在都知道了，那么 與 的比值是多少？能求出了嗎？

變式2：如果將例題中“ 為 的中點(diǎn)”改為 與 的比值是2，能否還有辦法求得 與 的比值嗎？

變式3：已知，如圖(2)， ，求 的值。

上面變式1和變式2中的圖形沒(méi)變，只是比值變動(dòng)而已;變式3的圖形幾乎一樣，只是此處僅一個(gè)中點(diǎn)。下面的兩個(gè)習(xí)題表面上看圖形變化很大，研究后發(fā)現(xiàn)可以去掉圖形中的某線段，解法就一樣了。

變式4：已知，如圖(3)， 中， 為 上一點(diǎn)， ， 是 的中點(diǎn)，求 的值。

變式5：已知，如圖(4)， 中， ， 是 邊上的高， 是 的中點(diǎn)， 的延長(zhǎng)線交 于 ，求證

上面的五個(gè)題目都有十二種解法，由于篇幅所限，不再一一贅述。如此借題發(fā)揮，一題多變，以點(diǎn)串線，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生由表及里、由此及彼的思維方法起到了觸類旁通的效果，同時(shí)又鞏固了發(fā)散思維。

篇9

2.1余角與補(bǔ)角(本文來(lái)源于：兔笨笨英語(yǔ)網(wǎng) tooben )

1.×、×、×、×、×、√;2.(1)對(duì)頂角(2)余角(3)補(bǔ)角;3.d;4.110°、70°、110°;5.150°;6.60°;7.∠aoe、∠boc，∠aoe、∠boc，1對(duì);8.90°9.30°;10.4對(duì)、7對(duì);11.c;12.195°;13.(1)90°;(2)∠mod=150°,∠aoc=60°;14.(1)∠aod=121°;(2)∠aob=31°,∠doc=31°;(3)∠aob=∠doc;(4)成立;

四.405°.

2.2探索直線平行的條件(1)

1.d;2.d;3.a;4.a;5.d;6.64°;7.ad、bc，同位角相等，兩直線平行;8、對(duì)頂角相等，等量代換，同位角相等，兩直線平行;9.be∥df(答案不);10.ab∥cd∥ef;11.略;12.fb∥ac，證明略.

四.a∥b,m∥n∥l.

2.2探索直線平行的條件(2)

1.ce、bd，同位角;bc、ac，同旁內(nèi)角;ce、ac，內(nèi)錯(cuò)角;2.bc∥de(答案不);3.平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行;4.c;5.c;6.d;7.(1)∠bed，同位角相等，兩直線平行;(2)∠dfc，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行;(3)∠afd，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行;(4)∠aed，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行;8.b;9.c;10.b;11.c;12.平行，證明略;13.證明略;14.證明略;15.平行，證明略(提示：延長(zhǎng)dc到h);

四.平行，提示：過(guò)e作ab的平行線.

2.3平行線的特征

1.110°;2.60°;3.55°;4.∠cgf，同位角相等，兩直線平行，∠f，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，∠f，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ);5.平行;6.①②④(答案不);7.3個(gè) ;8.d;9.c;10.d;11.d;12.c;13.證明略;14.證明略;

四.平行，提示：過(guò)c作de的平行線，110°.

2.4用尺規(guī)作線段和角(1)

1.d;2.c;3.d;4.c;5.c;6.略;7.略;8.略;9.略;

四.(1)略(2)略(3)①a② .

4.4用尺規(guī)作線段和角(2)

1.b;2.d;3.略;4.略;5.略;6.略;7.(1)略;(2)略;(3)相等;8.略;9.略;10.略;

四.略.

1.143°;2.對(duì)頂角相等;3.∠acd、∠b;∠bdc、∠acb;∠acd;4.50°;5.65°;6.180°;7.50°、50°、130°;8.α+β-γ=180°;9.45°;10.∠aod、∠aoc;11.c;12.a;13.c;14.d;15.a;

16.d;17.d;18.c;19.d;20.c;21.證明略;22.平行，證明略;23.平行，證明略;24.證明略;

生活中的數(shù)據(jù)

3.1 認(rèn)識(shí)百萬(wàn)分之一

1，1.73×10 ;2，0.000342 ; 3，4×10 ; 4，9×10 ; 5，c; 6，d;7，c ; 8，c; 9，c;10，(1)9.1×10 ; (2)7×10 ;(3)1.239×10 ;11， =10 ;10 個(gè).

3.2 近似數(shù)和有效數(shù)字

1.(1)近似數(shù);(2)近似數(shù);(3)準(zhǔn)確數(shù);(4)近似數(shù);(5)近似數(shù);(6)近似數(shù);(7)近似數(shù);2.千分位;十分位;百分位;個(gè)位;百位;千位;3. 13.0， 0.25 , 3.49×104 , 7.4*104;4.4個(gè), 3個(gè), 4個(gè), 3個(gè), 2個(gè), 3個(gè);5. a;6、c;7. ;8. d ;9. a ;10. b;

11.有可能，因?yàn)榻茢?shù)1.8×102cm是從范圍大于等于1.75×102而小于1.85 ×102中得來(lái)的，有可能一個(gè)是1.75cm，而另一個(gè)是1.84cm，所以有可能相差9c

12. ×3.14×0.252×6=0.3925mm3≈4.0×10-10m3

13.因?yàn)榭脊乓话阒荒軠y(cè)出一個(gè)大概的年限，考古學(xué)家說(shuō)的80萬(wàn)年，只不過(guò)是一個(gè)近似數(shù)而已，管理員卻把它看成是一個(gè)精確的數(shù)字，真是大錯(cuò)特錯(cuò)了.

四：1，小亮與小明的說(shuō)法都不正確.3498精確到千位的近似數(shù)是3×103

3.3 世界新生兒圖

1，(1)24% ;(2)200m以下 ;(3)8.2%;

2，(1)59×2.0=118(萬(wàn)盒);

(2)因?yàn)?0×1.0=50(萬(wàn)盒)，59×2.0=118(萬(wàn)盒)，80×1.5=120 (萬(wàn)盒)，所以該地區(qū)盒飯銷量的年份是2000年，這一年的年銷量是120萬(wàn)盒;

(3) =96(萬(wàn)盒);

答案：這三年中該地區(qū)每年平均銷售盒飯96萬(wàn)盒.

單元綜合測(cè)試

一、填空

1、70 2、銳角 3、60° 4、135° 5、115°、115°

6、3 7、80° 8、551 9、4對(duì) 10、40°

11、46° 12、3個(gè) 13、4對(duì)2對(duì)4對(duì)

二、選擇

14、D 15、D 16、B 17 B 18、B19、A 20、C

21、AD//BC

∠A=∠ABF∠A=∠C∠C=∠ABF

BA∥DC

22、32. 5°

23、提示：列方程求解得∠1=42°∠DAC=12°

24、平行

25、130°

26、BDAC，EFAC

BD∥EF

∠5=∠FEC

∠1=∠FEC

∠1=∠5

GD∥BC

∠ADG=∠C

27、CE平分∠BCD，DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°

∠BCD+∠CDA=180°

AD∥CB

CBAB

篇10

審題，就是弄清題意，弄清題中已知條件的意義，弄清已知條件和未知條件、條件與求證的關(guān)系。它是幾何運(yùn)算證明的前提。一般來(lái)說(shuō)，審題分為：1.讀題，通過(guò)讀題，知道題里講的是什么事情，使學(xué)生在頭腦中對(duì)題目所敘述的內(nèi)容有個(gè)具體的印象。2.認(rèn)清題中已知條件和要求證的問(wèn)題。3.分析題中的已知條件和求證的關(guān)系，也就是知道由已知推出什么結(jié)果與求證問(wèn)題聯(lián)系密切，找出求證計(jì)算的簡(jiǎn)單方法。由于學(xué)生的特點(diǎn)，證明計(jì)算時(shí)往往不注意審題，特別是容易忽略題中的已知條件，有時(shí)搞不明白已知條件與證明或計(jì)算的關(guān)系，導(dǎo)致不會(huì)解答。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，在幾何證明或計(jì)算教學(xué)過(guò)程中要注意審題的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。例如：已知平行四邊形的周長(zhǎng)為64 cm，對(duì)邊距離分別是3 cm和5 cm，搞不懂與問(wèn)題的關(guān)系。因此只能根據(jù)題意，設(shè)平行四邊形的一邊為X，一邊為Y，列出X+Y=64÷2，而對(duì)于距離分別為3 cm和5 cm這一條件，就束手無(wú)策。針對(duì)這一問(wèn)題，我就要求學(xué)生根據(jù)題意畫(huà)出圖形，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，平行四邊形的面積怎樣計(jì)算？他們很快回答底乘以高。然后讓學(xué)生討論已知條件中的第二個(gè)條件與問(wèn)題的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的面積不變，能找出怎樣的相等關(guān)系。經(jīng)討論后同學(xué)們很快利用面積相等找出了3X=5Y。個(gè)別同學(xué)還根據(jù)題目中的已知條件，利用平行四邊形的周長(zhǎng)相等，設(shè)面積為S，列出了（X+Y）×2=64。這樣通過(guò)認(rèn)真審題，找到了解答的方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

二、運(yùn)用實(shí)驗(yàn)觀察方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

例如：教學(xué)平行線等分線段定理的內(nèi)容時(shí)，我應(yīng)用了實(shí)驗(yàn)、觀察發(fā)法進(jìn)行教學(xué)。課前布置學(xué)生每人找一張橫格紙，要求橫格紙上的橫線是互相平行的，而且每相鄰的距離都相等。上課時(shí)，讓同學(xué)們把備好的紙拿出來(lái)。首先指導(dǎo)觀察備好的特點(diǎn)（一組平行線）。其次是指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的步驟是：1.讓學(xué)生用直尺畫(huà)直線L垂直橫格線，然后量一下，每相鄰兩條平行線的距離，分組討論計(jì)量的結(jié)果。2.讓學(xué)生用直尺畫(huà)直線過(guò)L截橫格線，猜想每相鄰兩條平行線被截線分成的線段的長(zhǎng)度有什么特點(diǎn)。3.讓學(xué)生把實(shí)驗(yàn)、觀察猜想的結(jié)論用自己的語(yǔ)言敘述。通過(guò)以上三步的實(shí)驗(yàn)，最后我把平行線等分線段定理展示出來(lái)并和同學(xué)們一起討論用學(xué)習(xí)過(guò)的平行四邊形和三角形的理論進(jìn)行推導(dǎo)定理。在這一過(guò)程中，我重視實(shí)驗(yàn) 、觀察的教學(xué)方法。在整個(gè)過(guò)程中，我只充當(dāng)了組織者和引導(dǎo)者，組織指導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手做，動(dòng)腦觀察，認(rèn)真思考，這種學(xué)習(xí)新知識(shí)的方法，使學(xué)生對(duì)要學(xué)習(xí)的新知識(shí)有了感性的認(rèn)識(shí)，符合辯證唯物主義的基本觀點(diǎn)，發(fā)展了學(xué)生的思維能力，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

三、注重學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的思維能力