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篇1

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）52-0139-03

大學(xué)物理中的許多問題都要用微積分來解決，如水壓力、變力沿直線或曲線做功、物體的質(zhì)心、剛體的轉(zhuǎn)動慣量以及E通量等。事實上，微分可以理解為對整體的無限分割，使得局部無限的小，積分則可以理解為對無限個小微元的求和[1]。概括地說，微分是分割的過程，積分則是一個求和、求極限的過程。本文以具體的物理問題為例，分析了積分方法在大學(xué)物理中的應(yīng)用。為了深化對積分概念的理解，本文以水的側(cè)向壓力為例，采用“大化小，常帶變，近似和，求極限”的思想進(jìn)行分析，討論了積分的本質(zhì)思想及其物理意義，并利用“微元分析法”[2]給出了該問題的簡單解法。另外，本文通過對變力沿曲線做功問題的求解和對阿基米德原理的證明，給出了曲線積分、曲面積分解決物理問題的本質(zhì)方法仍是“微元分析法”。

一、積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用

根據(jù)積分的定義[2，3]，我們可以得出，凡是可以通過“大化小，常帶變，近似和，求極限”這四步來解決的物理量均可用積分來求解，即可利用“微元分析法”來解決物理問題。本文以具體的問題為例，來分析積分在物理問題中的應(yīng)用。

（一）定積分的應(yīng)用――水的側(cè)壓力問題

例1 一個橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，設(shè)桶的底半徑為R，水的密度為ρ，計算桶的一個端面上所受的壓力。[2]

為了深化對積分概念的理解，本文首先根據(jù)“大化小，常帶變，近似和，求極限”的思想求解該題。

解：桶的一個端面是圓片，我們要計算的是當(dāng)水平面通過圓心時，鉛直放置的一個半圓片的一側(cè)所受到的水壓力。在這個圓片上，如圖1-1，在取過圓心且鉛直向下的直線為x軸，過圓心的水平線為y軸，則半圓片所在圓的方程為x2+y2=R2，記y=f（x）=■.

第一步：“大化小”，把半圓片分成n個小窄條，即把區(qū)間[0，R]分成n個小區(qū)間[x0，x1]，[x1，x2]，…[xn-1，xn]，其中x0=0，xn=R.每個小窄條一側(cè)所受的水壓力的和即為半圓片的一側(cè)所受的水壓力。

第二步：“常帶變”，把第i個小窄條（i=1，2，3，…，n）近似地看成矩形窄條，如圖1-1，該矩形的高為Δxi=xi-xi-1，任取一點ξi∈[xn-1，xn]，讓2f（ξi）作為該矩形的底，即小矩形的底為2■，則第i個小窄條所受的側(cè)壓力Pi的近似值可表示為：

Pi≈ρgξi2■Δxi，i=1，2，3，…，n

第三步：“近似和”，由上面的討論可得半圓片一側(cè)所受的側(cè)壓力P的近似值為：P≈∑■■ρgξi2■Δxi.

第四步：“取極限”，Δxi越小，近似和也就越接近于精確值P，當(dāng)Δxi無限小時，即Δxi趨于零時，近似和就是精確值P.

取λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}，則半圓形圓片一側(cè)所受的側(cè)壓力為：

P=■■ρgξi2■Δxi.

根據(jù)定積分的定義，上述極限即為函數(shù)f（x）=ρgx2■在區(qū)間[0，R]上的定積分，即

P=■■ρgξi2■Δxi=■ρgx2■dx.

綜上，我們得到了桶的一個端面上所受的壓力為

■ρgx2■dx=2ρg■x■dx=■R3.

通過對該題的求解，我們可以得到：當(dāng)所求物理量滿足一定條件（該物理量可以根據(jù)“大化小，常帶變，近似和，求極限”的思想來求解）時，那么該物理量可以表示為一個函數(shù)在某區(qū)間上的定積分。事實上，我們可以把定積分簡單地理解為求和、求極限。

對于例1，可以利用“微元分析法”，得出該題的簡單求解方法，具體過程如下：

解：對于上面所建立的坐標(biāo)系，我們?nèi)榉e分變量，且x∈[0，R]在該區(qū)間上取任一小區(qū)間[x，x+dx]，如圖1-2，用點x處的壓強來近似地表示該小區(qū)間上任一處的壓強，因此相應(yīng)于該小區(qū)間的窄條上各處的壓強可近似地表示為ρgx，該窄條的面積可近似地表示為：

2ydx=2■dx.

因此該窄條一側(cè)所受的水壓力的近似值，即桶的一個端面上所受水壓力的微元表達(dá)式為：

dp=2ρgx■dx

因此，所求的壓力為：

P=■2ρgx■dx=■R3.

（二）曲線積分的應(yīng)用――變力沿曲線做功問題

例2 有一質(zhì)量為4kg的質(zhì)點，在力F=（2xy，3x2）（SI單位）的作用下，沿曲線x2=9y從點（0，0）運動到（3，1），求力F在質(zhì)點運動過程中所做的功。[4]

討論：該題為變力沿曲線做功問題，且所求的量可以通過“大化小，常帶變，近似和，求極限”來解決，因此可以利用“微元分析法”來求解。由于質(zhì)點的運動路徑為曲線弧，故選取微元為弧元素ds.該題的具體求解過程如下：

解：對于曲線弧x2=9y，x∈[0，3]，在該弧上取弧元素ds，P（x，y）為ds上的任一點，P點處沿x軸增加方向的切向量的方向余弦為：cosα，cosβ.

可以得到：力F在x軸、y軸方向上的分量所做功的微元表達(dá)式分別為：2xycosβds，3x2cosαds.

所以所求功為：

W=■2xycosβds+■3x2cosαds=

■2xydx+3x2dy=18J.

該題是曲線積分的一個典型的應(yīng)用，涉及到了兩類曲線積分的概念及其聯(lián)系。事實上，此題也可以直接在x軸、y軸分別取微元dx、dy，進(jìn)而直接應(yīng)用對坐標(biāo)的曲線積分，得到所求功的表達(dá)式為：

■2xydx+3x2dy.

（三）曲面積分的應(yīng)用――阿基米德原理的證明

阿基米德原理：浸沒在液體中的物體所受的浮力等于該物體排開的同體積液體的重力，浮力的方向鉛直向上。[4]

例3 證明阿基米德原理。

對于該原理的證明，文獻(xiàn)[4]給出了很完整的證明過程。本文利用高斯公式，參考文獻(xiàn)[5]中的解題思想，嚴(yán)格按照“微元分析法”解決物理問題的步驟，給出該原理的另一證明思路。

證明：建立坐標(biāo)系，取液面為xoy坐標(biāo)面，鉛直向上的方向為z軸，由于物體表面各點處均有壓強，因此我們選取積分元為曲面元dS，積分區(qū)域為物體表面∑，在dS上取點M（x，y，z），由于z軸方向鉛直向上，所以z≤0.物體表面在該點處所受的壓強大小為-ρgz.

設(shè)∑在M處的外法線向量的方向余弦為：cosα，cosβ，cosγ.則dS所受壓力在x軸、y軸、z軸上的分量的微元表達(dá)式分別為：-ρgzcosαdS，-ρgzcosβdS，-ρgzcosγdS.

記物體所所受液體的壓力在x軸、y軸、z軸上的分量分別為：Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z.

于是可得：Fx=■-ρgzcosαdS；Fy=■-ρgzcosβdS；Fz=■-ρgzcosγdS.

（其中，Ω為物體所占有的空間區(qū)域，V為物體的體積。）

利用高斯公式可得結(jié)果：

Fx=■■dxdydz=0；

Fy=■dxdydz=0；

Fz=■■dxdydz=-ρgV

事實上，物體左右兩側(cè)受液體水平方向的壓力等值、反向、共線，因此，物體所受水平方向上的合力為零。因此物體所受的合力為F=-ρgV.該力大小等于物體的重力，方向鉛直向上。

在該題的證明過程中，我們可以把坐標(biāo)原點選取在xoy坐標(biāo)面的任一處，因此在建立坐標(biāo)系時無須確定坐標(biāo)原點。曲面積分的求解一般是轉(zhuǎn)化成定積分來計算，但在該題中，積分曲面不能夠具體地表示出來，因此曲面積分無法轉(zhuǎn)化成定積分。但可以利用高斯公式把曲面積分轉(zhuǎn)化成三重積分，轉(zhuǎn)化后的三重積分的被積函數(shù)是1，根據(jù)三重積分的定義[3]，可得該三重積分的值恰好是積分區(qū)域的體積。

二、結(jié)論

本文以具體的物理問題為例，分析了積分方法在大學(xué)物理中的應(yīng)用。當(dāng)所求物理量可以根據(jù)“大化小，常帶變，近似和，求極限”的思想來解決時，那么該物理量可以簡單地表示為一積分表達(dá)式，即該物理量可以利用微元分析法來求解。事實上，大學(xué)物理中的很多公式都是抽象的數(shù)學(xué)公式的具體化；而數(shù)學(xué)公式大都是抽掉了具體物理意義的數(shù)量關(guān)系。因此，在解決實際物理問題時，必須在掌握數(shù)學(xué)知識的同時明確物理概念，將數(shù)學(xué)與物理緊密地聯(lián)系起來。

另外，本文還總結(jié)了利用微元分析法求解物理問題的一般步驟：（1）建立方便的坐標(biāo)系。對于一個具體的物理問題，建立坐標(biāo)系的原則是使得計算過程較簡便。（2）確定積分區(qū)域。對于不同的問題，積分區(qū)域可能是：數(shù)軸上的區(qū)間；平面域；空間域；曲線??；曲面域。（3）寫出微元表達(dá)式。把積分區(qū)域分割為許多小區(qū)域，寫出小區(qū)域上待求物理量的近似值。（4）寫出積分表達(dá)式并求解。

參考文獻(xiàn)：

[1]梁小佳.微積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用探究[J].甘肅高師學(xué)報，2010，15（2）：78-80.

[2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.

篇2

    1.簡約美在一個藝術(shù)家眼里,簡潔就是一種美。物理學(xué)源于對自然現(xiàn)象的解釋和摸索,曾經(jīng)是很繁瑣的,隨著物理學(xué)家對自然規(guī)律一步步探究,他們逐漸總結(jié)出了反映物理本質(zhì)屬性的基本概念、定理和定律。例如,宇宙中的種種作用力可歸納為萬有引力、電磁力、強相互作用力、弱相互作用力四種;牛頓三定律解釋了低速條件下的物體動力學(xué)特征;麥克斯韋方程組可以解釋電磁學(xué)的許多問題;愛因斯坦相對論內(nèi)涵很神奇,它的原理卻十分簡單明了。

    2.和諧美自然界既是千姿百態(tài)的,又是統(tǒng)一的,萬千事物的存在和變化遵從一定的規(guī)律,這些為數(shù)不多的規(guī)律體現(xiàn)了自然界的統(tǒng)一與和諧之美。牛頓將“落下的蘋果”和行星運動引力聯(lián)系起來;麥克斯韋理論統(tǒng)一了電、磁、光;愛因斯坦廣義相對論將引力、時間、空間、物質(zhì)聯(lián)系起來;德布羅意關(guān)系揭示了物質(zhì)波動性和粒子性的統(tǒng)一。物理學(xué)不僅是一門科學(xué),也是一種文化,在理科生大學(xué)物理課堂上,教師可以將物理與文學(xué)結(jié)合起來,借助優(yōu)美的古詩詞句加深學(xué)生對物理規(guī)律的理解和記憶,同時培養(yǎng)他們的文學(xué)素養(yǎng)。張若虛的《春江花月夜》中,詩句“春江潮水連海平,海上明月共潮生”描繪了明月與潮水同升的景象;史達(dá)祖在《滿江紅?中秋夜潮》中用詩句“萬水歸陰,故潮信盈虛因月”提示了潮汐現(xiàn)象與月亮相關(guān)。由此,教師可以讓學(xué)生明白:利用萬有引力公式定量計算發(fā)現(xiàn),月球的引潮力是太陽的2倍多,潮汐主要是月球?qū)Τ彼囊Χ纬傻?。蘇軾的詩“峰多巧障目,江遠(yuǎn)欲浮天”形象講述了“光沿直線傳播”的理論。教學(xué)中以詩句引趣,以意激情,使學(xué)生自然地進(jìn)入最佳學(xué)習(xí)狀態(tài),有利于啟發(fā)學(xué)生思維,強化學(xué)生記憶,調(diào)動課堂氣氛。

    二、注意文理科生大學(xué)物理教學(xué)的差異性

    文理科生物理基礎(chǔ)差距大,理科生熟悉的內(nèi)容,文科生可能并不了解。文科生具有較強的文字功底和語言表達(dá)能力,理科生獨立思考和邏輯思維強。為解決不同知識背景學(xué)生的需求,教師應(yīng)從教學(xué)內(nèi)容、考核方式和教學(xué)方法等方面探索出適合高等院校實際的、能充分調(diào)動師生積極性的教學(xué)模式。

篇3

1.對稱美

對稱總給人美感，物理學(xué)規(guī)律的描述處處顯示出了對稱美。例如，平面鏡成像、電荷的正負(fù)、作用力和反作用力、電生磁和磁生電、物質(zhì)與反物質(zhì)等空間對稱性，角動量守恒體現(xiàn)了宇宙的空間轉(zhuǎn)動對稱性，能量守恒體現(xiàn)了宇宙的時間平移對稱性。

2.簡約美

在一個藝術(shù)家眼里，簡潔就是一種美。物理學(xué)源于對自然現(xiàn)象的解釋和摸索，曾經(jīng)是很繁瑣的，隨著物理學(xué)家對自然規(guī)律一步步探究，他們逐漸總結(jié)出了反映物理本質(zhì)屬性的基本概念、定理和定律。例如，宇宙中的種種作用力可歸納為萬有引力、電磁力、強相互作用力、弱相互作用力四種；牛頓三定律解釋了低速條件下的物體動力學(xué)特征；麥克斯韋方程組可以解釋電磁學(xué)的許多問題；愛因斯坦相對論內(nèi)涵很神奇，它的原理卻十分簡單明了。

3.和諧美

自然界既是千姿百態(tài)的，又是統(tǒng)一的，萬千事物的存在和變化遵從一定的規(guī)律，這些為數(shù)不多的規(guī)律體現(xiàn)了自然界的統(tǒng)一與和諧之美。牛頓將“落下的蘋果”和行星運動引力聯(lián)系起來；麥克斯韋理論統(tǒng)一了電、磁、光；愛因斯坦廣義相對論將引力、時間、空間、物質(zhì)聯(lián)系起來；德布羅意關(guān)系揭示了物質(zhì)波動性和粒子性的統(tǒng)一。物理學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一種文化，在理科生大學(xué)物理課堂上，教師可以將物理與文學(xué)結(jié)合起來，借助優(yōu)美的古詩詞句加深學(xué)生對物理規(guī)律的理解和記憶，同時培養(yǎng)他們的文學(xué)素養(yǎng)。張若虛的《春江花月夜》中，詩句“春江潮水連海平，海上明月共潮生”描繪了明月與潮水同升的景象；史達(dá)祖在《滿江紅•中秋夜潮》中用詩句“萬水歸陰，故潮信盈虛因月”提示了潮汐現(xiàn)象與月亮相關(guān)。由此，教師可以讓學(xué)生明白：利用萬有引力公式定量計算發(fā)現(xiàn)，月球的引潮力是太陽的2倍多，潮汐主要是月球?qū)Τ彼囊Χ纬傻?。蘇軾的詩“峰多巧障目，江遠(yuǎn)欲浮天”形象講述了“光沿直線傳播”的理論。教學(xué)中以詩句引趣，以意激情，使學(xué)生自然地進(jìn)入最佳學(xué)習(xí)狀態(tài)，有利于啟發(fā)學(xué)生思維，強化學(xué)生記憶，調(diào)動課堂氣氛。

二、注意文理科生大學(xué)物理教學(xué)的差異性

文理科生物理基礎(chǔ)差距大，理科生熟悉的內(nèi)容，文科生可能并不了解。文科生具有較強的文字功底和語言表達(dá)能力，理科生獨立思考和邏輯思維強。為解決不同知識背景學(xué)生的需求，教師應(yīng)從教學(xué)內(nèi)容、考核方式和教學(xué)方法等方面探索出適合高等院校實際的、能充分調(diào)動師生積極性的教學(xué)模式。

1.教學(xué)內(nèi)容的不同

文科學(xué)生與理工科學(xué)習(xí)物理知識有著本質(zhì)不同。首先，課時差距很大，北京工商大學(xué)（以下簡稱“我校”）理工科每學(xué)年總課時為119課時，而文科學(xué)生只有34課時，這要求教師要精選文科生物理學(xué)習(xí)內(nèi)容；其次，物理基礎(chǔ)的不同使得任課教師在教學(xué)深度和難度上要把握得當(dāng)。另外，理工科大學(xué)物理教學(xué)是為了培養(yǎng)研究和應(yīng)用型人才，文科學(xué)生學(xué)物理是為了提高他們的科學(xué)素養(yǎng)。因而，理工科教學(xué)內(nèi)容應(yīng)“系統(tǒng)化”、“邏輯化”和“研究型”，而文科學(xué)生側(cè)重于科學(xué)精神和物理規(guī)律的定性學(xué)習(xí)。我校理工科大學(xué)物理教學(xué)內(nèi)容系統(tǒng)化，涉及力學(xué)、熱學(xué)、振動和波動、光學(xué)、電磁學(xué)和近代物理。教師教學(xué)不單純以“傳授知識”活動為主，而且要輔之以“探索知識”活動，這不但發(fā)展一般應(yīng)用知識的能力，還要發(fā)展高層次能力，即創(chuàng)造力。在教學(xué)中，注重教學(xué)主題的引入，啟發(fā)學(xué)生思考問題，理論聯(lián)系實際，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，讓學(xué)生從單純的物理知識學(xué)習(xí)上升到創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。我校教師讓學(xué)生走進(jìn)實驗室，引導(dǎo)學(xué)生自主設(shè)計和開發(fā)新的實驗儀器，通過這樣的教學(xué)方式，提高學(xué)生動手能力和科研技能，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力。最終，教師指導(dǎo)學(xué)生獲得三項物理演示實驗競賽獎：2011年北京市大學(xué)生物理實驗競賽一等獎，2011年北京市大學(xué)生物理實驗競賽三等獎，全國高校第10屆物理演示教學(xué)儀器一等獎。文科大學(xué)物理教學(xué)中注重物理學(xué)史的介紹，讓學(xué)生了解物理學(xué)規(guī)律和定律變革的洗禮，深刻領(lǐng)會物理學(xué)家思想的真諦，感悟科學(xué)家所具有的探索精神、求真精神、創(chuàng)新精神和獻(xiàn)身精神，以及科學(xué)家們所表現(xiàn)出的謙虛、誠實、合作、淡泊名利的優(yōu)秀品質(zhì)。例如，在講述卡諾循環(huán)物理原理時，介紹了法國青年工程師卡諾如何在前人研究基礎(chǔ)上找到了提高蒸汽機效率方法的研究過程，由此激勵學(xué)生在學(xué)習(xí)中應(yīng)像卡諾那樣具備不斷探索的精神。又如在引入庫倫定律時，不僅讓學(xué)生了解庫倫，還要了解卡文迪許、富蘭克林等科學(xué)家為該定律的建立付出的不懈努力，使庫侖定律最終在1784～1785年間通過紐秤實驗得以驗證。課堂物理學(xué)史的引入不僅能使學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容印象深刻，還激發(fā)了他們學(xué)習(xí)物理的興趣，培養(yǎng)了他們的人文精神。

2.課堂教學(xué)方式不同

針對理工科學(xué)生特點，教師著重訓(xùn)練他們的邏輯思維能力、空間想象能力、運算能力和科學(xué)研究能力，可以采取下面幾種教學(xué)方式：第一，運用所學(xué)物理知識，教師引導(dǎo)學(xué)生對物理問題進(jìn)行科學(xué)分析，形成一定的邏輯思維習(xí)慣、抽象思維能力、解題思路和物理模型。第二，教師指導(dǎo)學(xué)生熟練運用高等數(shù)學(xué)知識解決物理問題。微積分是最常用的數(shù)學(xué)分析手段，也是學(xué)生覺得最難的數(shù)學(xué)工具，物理教師應(yīng)向?qū)W生深入剖析微積分的物理意義，以此提高他們的運算能力。第三，大學(xué)物理實驗數(shù)據(jù)經(jīng)常要使用計算機軟件來處理，有些學(xué)生計算機水平低，教師應(yīng)加強他們的信息處理能力。第四，物理規(guī)律和理論來源于實驗和生產(chǎn)實踐，教師通過大學(xué)物理實驗課培養(yǎng)學(xué)生的實驗動手能力和創(chuàng)造力。大學(xué)物理學(xué)習(xí)對文科生要求相對比較低，主要掌握基本物理概念和原理，培養(yǎng)一定的科學(xué)思維方式?？紤]到文科生物理基礎(chǔ)薄弱，教師可利用輕松愉悅的教學(xué)方式引入教學(xué)主題，向文科學(xué)生適當(dāng)介紹與物理有關(guān)的社會問題如能源、環(huán)境問題，當(dāng)代科技前沿知識如航天飛機、納米材料知識，而最簡單形象的就是利用實驗儀器的演示來解釋物理問題。我校大學(xué)物理演示實驗室已向文科生開放，“法拉弟籠”是學(xué)生最感興趣的實驗之一。當(dāng)約50~100KV高壓電源向法拉第籠放電時，籠內(nèi)的同學(xué)安然無恙，學(xué)生對此驚訝不已，覺得真不可思議。教師用靜電屏蔽的物理理論進(jìn)行解釋后，并啟發(fā)學(xué)生思考：在生活中是否存在類似現(xiàn)象？學(xué)生想到了高壓線圈外的鐵架，還有些同學(xué)想到如果將易發(fā)生雷電地區(qū)的房屋裝上這些具有屏蔽作用的籠網(wǎng)，可以保護人身安全，這樣的演示實驗讓學(xué)生感覺到物理現(xiàn)象就在身邊。物理演示實驗室展廳還擺放有許多生活中可以見到的實驗儀器，如三維電影、魚洗盆。這些實驗儀器越貼近生活，學(xué)生越有興趣，急切地想知道它們的物理本質(zhì)。教師再引導(dǎo)學(xué)生分析其中的物理奧妙，學(xué)生必然興趣盎然，覺得物理大有用處。

篇4

0 引言

波是向前傳播的，這是事實，但是過去沒有人進(jìn)行過論證[1-2]，為了解決這個問題，菲涅耳進(jìn)行了人為地校正，規(guī)定了波只能向前傳播，而不是向后傳播。但這不是數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)證明，而是人為設(shè)定，下文進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年P(guān)于波向前傳播的論證和衍射原理推測。

1 波傳播是一段信號

波傳播的介質(zhì)是均勻時，同一類型波的波速點點相等。設(shè)簡諧波的模型為y=Asin（ωt+φ）。

式中A——振幅，ω——園頻率，φ0——初相位，t——時間，y——離開平衡位置的位移；其它名詞λ——波長，T——周期，f——頻率，相位為φ=ω（t-■）+φ0，則ω=2πf，λ=v/f。A、ω、φ為簡諧波的基本元素，如果這3個元素具有了，簡諧波就存在了。

設(shè)波函數(shù)為：y=Asin[ω（t-■）+φ0]（1）

上式中，v——波速，x——沿波線的位移，其余字符意義與上同。因為分析波總以位置變量或時間變量的一個變量進(jìn)行觀測和研究，模型又恢復(fù)到簡諧波的模型上了。只考慮時間變量時，設(shè)t為時間采樣間隔，tk=kt，k∈J，對應(yīng)的y也進(jìn)行離散，離散后的簡諧波的模型變?yōu)閥k=Asin（ωkt+φ）。只討論位移變量時，把位移進(jìn)行離散化，設(shè)x為空間采樣間隔，xl=lx，l∈J，對應(yīng)的y也進(jìn)行離散，離散后的波函數(shù)模型變?yōu)閥l=Asin（-ω■+φ）。按照采樣定理【3～5】，一個周期內(nèi)，采2個點以上，且總樣點數(shù)至少3個，才可以確定波。即t

所以，只有持續(xù)一段時間（大于2t的時間，t

2 波向前傳播

2.1 波的疊加

對于獨立的兩列波疊加，在疊加段位移是兩列波的位移之和，分開后獨立傳播。但有個前提條件，必須是波傳播疊加，不是波時，不具備這個性質(zhì)。什么是波呢？上文提到具備初相位、振幅和固定頻率是波的充分必要條件，對于樣點來講必須3點以上才可以是波傳播的必要條件。對于某一時刻和某一位置的質(zhì)點，沒成波時，不會鉆到波里面，而是和鄰近的位移點一起振動傳播。而波前的特點是本身振動的一個質(zhì)點，無限的靠近y=0點，但又不是y=0點。

2.2 臨近兩點位移頂點形成的跡線

對于一束平行波，分析處于中間位置的波線，見圖2。鄰近兩點的位移頂點形成的軌跡是連續(xù)的，稱為位移軌跡的連續(xù)性，這個鄰近的兩點指的是limx=x2-x10。垂直于波線時，任何位置相鄰位移y是相等的，求空間位移的變化率，即■■=0

在離開被研究點的位置時，結(jié)果是一樣的。顯然這兩點的位移是不會構(gòu)成波的，因為波的導(dǎo)數(shù)，依舊是個波函數(shù)。即一束波傳播過程中，處于中間位置的波不會向兩側(cè)傳播。

現(xiàn)在已知波是一段波OH，是從左向右傳播的，來研究I′點的傳播情況。當(dāng)位移忽略時，波變成原地不動的振動，根據(jù)1的論述，必須是持續(xù)一段時間，見圖2。而波提供能量，如果只一次，則這點是不會產(chǎn)生波的。以同頻率、相位和振幅提供給H點一段時間，H點才會具有波的振動能力，H點的頻率、相位和振幅與給能量的頻率、相位和振幅與給能量是一致的，所以H點是向前傳播的，即波是向前傳播的。

3 波疊加能量最大時的頻率和相位的關(guān)系

3.1 初相位約定

初相位的概念是當(dāng)在原點，即x=0和t=0的相位值φ0，這個角度沒有明確的范圍，計算起來非常不方便。作為波函數(shù)，可以用正弦波或余弦波表示，其周期為2π，這樣為了計算方便，同時又不影響計算結(jié)果，這里的初相位約定在[0，2π）。

3.2 兩個波疊加時，同頻和同相能量最強

求兩個簡諧波在一點振動時的能量關(guān)系，

第一個簡諧波模型為：

X1（t）=A1sin（ω1t+φ1），A1為最大振幅，ω1為園頻率，φ1為對應(yīng)的相位

第二個簡諧波模型為：

X2（t）=A2sin（ω2t+φ2），A2為最大振幅，ω2為園頻率，φ2為對應(yīng)的相位

兩個波的疊加關(guān)系為X（t）=A1sin（ω1t+φ1）+A2sin（ω2t+φ2）

分析X（t）自功率譜，當(dāng)X（t）自相關(guān)函數(shù)最大時，自功率譜也最大。Y（τ）=■[X（t■）X（t■+τ）t]≤■[X（t■）X（t■+τ）t]（2）

（1）式子里，t=t■-t■，為最小樣點間隔時間，即M，N兩點的間隔時間，滿足t

X（t■）X（t■+τ）=[A1sin（ω1t■+φ1）+A2sin（ω2t■+φ2）]·[A1sin（ω1t■+ω1τ+φ1）+A2sin（ω2t■+ω2τ+φ2）]=A■■sin（ω1t■+φ1）sin（ω1t■+ω1τ+φ1）+A1A2sin（ω2t■+φ2）sin（ω1t■+ω1τ+φ1）+A1A2sin（ω1t■+φ1）sin（ω2t■+ω2τ+φ2）+A■■sin（ω2t■+φ2）sin（ω2t■+ω2τ+φ2）（3）

值，只需求具體的每一項最大即可。

（9）式，每一項的絕對值最大時，正值X（t■）X（t■+τ）才最大。A1、 A2是常量，對于具體一項變量的兩式乘積，只有絕對值相等時，乘積值最大。同正號或同負(fù)號時乘積與絕對值一樣的，即sin（ω1t■+φ1）=sin（ω1t■+ω1τ+φ1），其它（3）式里一系列式子都可以這樣得出一系列的等式：

ω1t■+φ1=ω1t■+ω1τ+φ1（4）

ω2t■+φ2=ω1t■+ω1τ+φ1（5）

ω1t■+φ1=ω2t■+ω2τ+φ2（6）

ω2t■+φ2=ω2t■+ω2τ+φ2（7）

由（10）和（12）式都可以得τ=0，并將它帶入（11）式或（13）式，得（ω2-ω1）t■+（φ2-φ1）=0

由于t■為變量，所以ω1=ω2，φ1=φ2。

τ=0和上面的頻率相同初相位相同，是計算自相關(guān)最大值的解。同理，同頻同相疊加能量最強，表現(xiàn)為兩種形式，第一種形式輸出波的頻率和源頻率相同時輸出能量最強，第二種形式傳播的波和接收的波的頻率和相位與源頻率相同時接收得到的能量最強。共振表現(xiàn)為第二種形式，電磁波傳播和接收兩種形式都有。

4 相干分析

兩源的情況：

以兩個相同波源產(chǎn)生波相干為例，分析波的干涉，

設(shè)y1=A1sin（ω1t+φ1），y2=A2sin（ω2t+φ2）是代表兩個波源的簡諧波函數(shù)，設(shè)疊加為0，且連續(xù)可導(dǎo)，取求和為0進(jìn)行分析。

A1sin（ω1t+φ1）=-A2sin（ω2t+φ2）（8）

對（8）式，關(guān)于t求導(dǎo)，得到

A1ω1cos（ω1t+φ1）=-A2ω2cos（ω2t+φ2）（9）

-A1ω■■sin（ω1t+φ1）=A2ω■■sin（ω2t+φ2）（10）

由（8）式和（10）式聯(lián)立得ω1=ω2（11）

由（8）、（9）和（11）聯(lián)立得tan（ω1t+φ1）=tan（ω2t+φ2）

進(jìn)而得φ1=kπ+φ2，k∈J（12）

按照初相位約定，φ1和φ2要么相等，要么差180°。按照（8）式，此種情況應(yīng)是差180°。并得到A1=A2（13）

對于滿足頻率、振幅相等以及初相位差180°的兩個波源是很容易滿足的。

當(dāng)位移點落在兩源的中線上，其和位移為0。除了這個條件外，和位移是0時，可解出一個具體的相位差，這個相位差不是恒定的。在這個條件下的某一點，其距兩個波源的相位差2kπ+π，k∈J時，兩個波源在此點的位移的絕對值是不等的，因為此點距兩個波源的距離不同，振幅不等，和位移不就是0。當(dāng)相位差為2kπ+π，k∈J時，所形成的點，因到兩個波源的距離差恒定，是數(shù)學(xué)雙曲線，但振幅不完全是0。就是實際的0點，都不在雙曲線上。當(dāng)A1和A2接近時，利用正弦波計算，相位差接近2kπ+π，k∈J，可達(dá)到和位移0，當(dāng)A1和A2差比較大時，相位差距2kπ+π，k∈J較遠(yuǎn)，可達(dá)到和位移0，看圖4。相干疊加位移為0點的曲線，遠(yuǎn)離波源時接近雙曲線，近波源時則抖動厲害。

同理，可分析頻率相同，相位也相同的情況，但無中線的0點。

5 散射、衍射和底根

5.1 推測散射、衍射和底根

圖4 沿波線的波前點 圖5 垂直波線的波前點1

先對平行波穿過縫進(jìn)行分析，波過縫后的情況。這個分析也是位移為0時，正對著縫開始的。根據(jù)2的論述，此點是波前的點I′，是具有波源的性質(zhì)，無線靠近0點，又不是0點，見圖4。同時根據(jù)臨近兩點位移的性質(zhì)，處在最邊緣的波，不會向中間傳播，也不會向后傳播，可向外傳播和向前傳播，這樣成四分之一弧狀傳播，見圖5。接下來分析下一時刻的情況，同樣設(shè)時間差為t，波運行的空間差為x。當(dāng)邊緣的波線向前傳播能量減少以后，鄰近的波線同樣也具有四分之一的弧狀傳播，見圖6。同時，后來傳播的波壓在外側(cè)的波上，形成和振動，因為兩者的相位不一樣，根據(jù)前面的論述，起到互相抑制的作用，所以這種情況傳播的能量非常少，本文稱它為散射。由于波向前和向外側(cè)傳播的速度是一樣的，所以這種情況的散射點是成 45°角向前的，見圖7。圖7是一列平行波，畫出了5個波線，R1弧是A點產(chǎn)生的波前線，R2弧是B2點產(chǎn)生的波前線，R3弧是C2點產(chǎn)生的波前線。當(dāng)左右兩側(cè)的散射點相遇后，情況就不一樣了，形成中間高兩側(cè)低的同向振動，當(dāng)這個空間非常小時，跟半弧狀的波源波形是一樣的，形成半弧狀向前傳播，能量強。這樣對兩側(cè)波的約束也不存在了，以此逐步的能量強，出現(xiàn)了衍射。但不是脈沖寬度時，總是衍射后有剩余的殘余能量，本文稱為底根。這樣衍射是由于以上三部分能量合成的結(jié)果。

5.2 推測定性的計算

從圖7很容易可以看出，越往兩側(cè)，波場是越疏的，越往中間波場越密，這跟觀測的結(jié)果是一致的。按照以上分析，無論是散射還是衍射，沿著AC2的產(chǎn)生圓弧的能量是相等的，那么可以進(jìn)行這樣計算，在波場的某一點，對于沿著AC2的連續(xù)源，同時總可以近似的表達(dá)為，相位是連續(xù)變化的，同時又不考慮到達(dá)此點的振幅差別。I=■sin[（-■）ω+φ]dx即I=cos[（-■）+φ]-cos[（-■）+φ]，相當(dāng)于在A點和 C2點的兩個波源的干涉，這就解釋了衍射包含干涉的原因。

5.3 縫寬窄和能量的關(guān)系

以上論證了散射點是斜前方向的，實際上內(nèi)側(cè)的每一點都是在波前往后一點的，越往里，則這個點越往后。這是因為播前的能量非常小，只有當(dāng)內(nèi)側(cè)的位移搞過兩側(cè)的位移時，才產(chǎn)生散射?？p越寬時，相遇點距波前越遠(yuǎn)，形成的三角形較窄見圖8。當(dāng)縫較窄時，相遇時形成的三角形較寬見圖9。等同于等腰三角形投影到波面上。

圖8 寬縫的散射點三角形 圖9 窄縫的散射點三角形

窄縫的三角形頂點與波形最大位移頂點的偶合程度大于寬縫的三角形頂點與波形最大位移頂點的偶合程度。所以窄縫的衍射能量強。

形成圓弧狀的衍射條件是波寬接近尖脈沖才可以。

6 結(jié)論

（1）用采樣定理和波的位移關(guān)系，論證了波向前傳播的物理規(guī)律，解開了物理歷史性難題。

（2）論證了共振的原理。

（3）分析了干涉的數(shù)學(xué)原理。

（4）根據(jù)衍射的現(xiàn)象推測了波的散射、衍射和底（下轉(zhuǎn)第346頁）（上接第296頁）根，這些需要試驗驗證，重新總結(jié)和提高，但對于分析衍射原理本文開始了一個新的思路，對于過去的衍射方法而言是一個新的進(jìn)步，但不完善，僅是一個推測。

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