導言：作為寫作愛好者，不可錯過為您精心挑選的10篇數(shù)學概念教學，它們將為您的寫作提供全新的視角，我們衷心期待您的閱讀，并希望這些內容能為您提供靈感和參考。

篇1

數(shù)學是研究現(xiàn)實空間形式和數(shù)量關系的科學。著名數(shù)學家華羅庚說：“學數(shù)學，概念是第一位的?！庇纱丝梢?，在數(shù)學教學中使學生形成正確完整的概念，是教師在教學中的首要任務，也是提高教學質量的關鍵，更是培養(yǎng)學生能力、發(fā)展學生智力的重要途徑。

引入新概念的教學過程是揭示概念的產生過程。就是說要揭示認識過程的質變的飛躍。教師要設法幫助學生完成由情感認識到理性認識的過程，為此應提供豐富的概念發(fā)生的實際背景和基礎概念產生的材料。數(shù)學有逐級抽象的特點，前一級是后一級抽象的直觀背景材料，直觀背景材料不僅是指實物、模型、教具等而且還指已經熟悉的概念事例等。有時還利用有趣的、發(fā)人深省的問題引入概念，所以說恰當?shù)匾敫拍钍歉愫酶拍罱虒W的先決條件。

一、直觀形象從事例出發(fā)

初中生是以形象思維為主要思維形式過渡。初中生雖具有一定抽象思維能力，但對某些思維概念的理解上仍存在很大困難。這樣在概念教學中就應遵循學生的認識規(guī)律，采取直觀形象的方法進行教學，從實際出發(fā)用實際例子或實物模型進行介紹，使學生對所研究的對象由感性到理性逐步認識它的本質屬性，建立起新概念。這些實際事物，往往可以就地取材，以學生較熟悉的事物為例最好。

如，在介紹相似概念時，可以舉出物體和它縮小的照片，實際地形和地圖，這些照片和地圖在形狀上是大小不同的，從而導出相似形的概念。

這樣先用實例引導，再逐步深入所掌握的概念是符合認識規(guī)律的，也易給學生留下較深刻的印象，同時有助于讓學生體會到學習新概念的目標和意義，從而激發(fā)學生的學習興趣，調動學生的學習積極性。

二、以舊引新，縱橫聯(lián)系，以已有的概念為輔墊，促進知識的正遷移

我們知道，數(shù)學是一門邏輯性很強的學科，教學概念的前后聯(lián)系很緊密。新概念都是在已有的概念基礎上發(fā)展起來的。新概念的形成在學生的認識活動中都不是孤立的，它反映的實際內容有的是學生已經接觸的，有的是學生已經學過的舊知識的綜合提高。因此在講授新概念前應首先復習與新概念緊密聯(lián)系的概念，溝通新舊概念間的聯(lián)系，做到以舊引新。另外，在學生對新概念有了一定的了解之后，還需引導他們把新概念和舊概念區(qū)分開來，應著重指出新概念的本質屬性，講清新概念的內涵和外延，這樣才能鞏固舊概念，綜合新概念，促進知識的正遷移。

譬如，在教學質數(shù)和合數(shù)的概念時，可以首先復習約數(shù)和倍數(shù)的概念，然后讓學生找出某些數(shù)的全部約數(shù)。

1的約數(shù)為1；

5的約數(shù)為1、5；

7的約數(shù)為1、7；

9的約數(shù)為1、3、9；

12的約數(shù)為1、2、3、4、6、12；

……

通過對以上各約數(shù)的個數(shù)進行觀察、分析、比較，引導學生把它們分為三類：只有一個約數(shù)的（1），含兩個約數(shù)的（5、7），含三個或三個以上的（9、12……），在這個基礎上引出質數(shù)和合數(shù)的概念，根據(jù)質數(shù)和合數(shù)的意義來對照“1”這個數(shù)，使學生明白“1”這個數(shù)既不是質數(shù)也不是合數(shù)?？偨Y出，自然數(shù)可分為“1”“質數(shù)”和“合數(shù)”三類。學生學習了質數(shù)、合數(shù)后，常常誤把質數(shù)和奇數(shù)，合數(shù)和偶數(shù)混淆起來，為此我們可以在復習這四個概念的基礎上，讓學生把1～20各數(shù)按要求填寫在兩個相應的圈中。

認真完成這個練習后，學生可以清楚地看到，并不是所有奇數(shù)都是質數(shù)，也不是所有偶數(shù)都是合數(shù)，從而對兩組概念的外延有了較深刻的認識。

所以，教師在進行概念教學中應注意以舊引新，把學生已經掌握的概念作為鋪墊引入，再引入新概念，使學生對新概念無陌生之感，也便于理解和掌握新概念。

以上僅是對教師在概念教學中所提出的一點拙見，但我們知道，教學不只是單純地使學生學得知識，更重要的是讓他們自己會學知識，所以在學習新概念時，學生應該怎樣來要求自己呢？

篇2

一、數(shù)學概念教學

（一）數(shù)學教育中概念教學的意義及存在的問題

在數(shù)學教育中發(fā)展學生的能力，歷來是數(shù)學教育改革的重大課題與核心問題.數(shù)學概念是數(shù)學的基礎，若忽視了數(shù)學概念這一基礎知識的教學，那么對學生能力的培養(yǎng)及其它一切教學要求和目的都將是一句空話.許多學生的數(shù)學成績差往往都要歸結于對數(shù)學概念學習的不重視或不理解，概念不明確必然會影響到法則、性質、定理、證明、運算等一系列知識的理解和運用.

在數(shù)學教學中，往往遇見這樣的事情，若提問學生概念時，則能對答如流，但一遇到題，就出現(xiàn)這樣的困惑：要么無從下手，要么得不到合理的結果.這是概念學習中常遇見的一種現(xiàn)象――假性理解.數(shù)學概念學習中的假性理解介于正確理解和錯誤理解之間，對概念只是簡單的記憶，雖能復述，但卻沒有抓住概念的本質特征，也未深刻理解更沒有形成應用的能力.我們認為，造成學生“假性理解”的原因，也就是我們目前概念教學中的問題所在。

二、數(shù)學概念的教學中應遵循的原則

（1）科學性與思想性統(tǒng)一原則

教師傳授的知識，引導學生發(fā)現(xiàn)的共性應當是正確、可靠的，引用的事實應當是有根據(jù)的，不可瞎編亂造；提出的定義合乎情理，沒有歧義；同時要講清概念中的每一個字、詞的真實含義及引申含義；做出的論斷應邏輯性強、正確無誤.

（2）啟發(fā)性原則

在教學中教師要視學生為主體，注重調動學生學習的積極性，引導學生獨立思考，積極探索，主動自覺地學習.自覺地掌握科學文化知識和提高分析問題、解決問題的能力.教師要輔助、引導和啟發(fā)學生，逐步培養(yǎng)學生獨立思考、自主學習的能力，培養(yǎng)良好的學習習慣.這也是本論文重點探索的教學原則.

（3）循序漸進的原則

在數(shù)學概念教學中要按照學生認識發(fā)展的順序進行，使學生系統(tǒng)地掌握基礎概念和基本技能，形成嚴密的邏輯思維能力.新概念的引入，是對已有概念的繼承、發(fā)展和完善.有些概念內容復雜，外延廣泛，很難在教學中一步到位，需要分成若干個層次，循序漸進，逐步加深和提高.

三、常見數(shù)學概念教學方法

要重視概念的引入過程，新課標指出：數(shù)學概念中要引導學生從具體的實例中抽象出數(shù)學概念.因此引入數(shù)學概念就要以具體的典型材料和實例為基礎，揭示概念形成的實際背景.要創(chuàng)設好的問題情境，幫助學生由材料感知到理性認識的過渡，并引導學生用背景材料與原有認知結構建立實質性的聯(lián)系.

1利用學生已有的知識和經驗引入概念

數(shù)學概念往往是“抽象之上的抽象”，先前的概念往往是后續(xù)概念的基礎，教學中要充分利用學生頭腦中已有的知識與相關的經驗來引入概念.例如：在講圓的概念時，教師可以讓學生講述生活中有哪些東西是圓形的，以及它們之間的共同點是什么，這樣一步步將學生的具體思維引導到抽象思維上，從而使學生更容易理解概念.

2結合數(shù)學史，以數(shù)學故事引入數(shù)學概念

在講授新的數(shù)學概念的時候，結合數(shù)學內容適當?shù)囊胍恍?shù)學史，數(shù)學家的故事，或者講一些生動的數(shù)學典故，往往能很好的激發(fā)學生的學習興趣.例如：在講圓的概念時，可以講述我國古代數(shù)學家劉徽、祖沖之父子為圓周率所做的貢獻，以及他們的一些小故事.教師只有通過展示大量生動的背景材料，才易于學生分析、比較、抽象、概括，明確概念的本質屬性.

篇3

關鍵詞：數(shù)學概念概念教學階段數(shù)學思維層次分析

概念是客觀事物本質屬性、特征在人們頭腦中的反映。數(shù)學概念是反映現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的本質屬性的思維形式。在初中數(shù)學教學中，加強概念的教學，正確理解數(shù)學概念是掌握數(shù)學基礎知識的前提，是學好定理、公式、法則和數(shù)學思想的基礎，搞清概念是提高解題能力的關鍵。在新一輪課改理念的引領下，結合我的教學實踐，就數(shù)學概念教學的有關問題與大家共同探討。

一、新舊理念下數(shù)學概念教學模式的層次分析。

傳統(tǒng)的數(shù)學概念教學大多采用“屬+種差”的概念同化方式進行。通常分為

以下幾個步驟：

1、揭示概念的本質屬性，給出定義、名稱和符號；

2、對概念的進行特殊分類，揭示概念的外延；

3、鞏固概念，利用概念解決的定義進行簡單的識別活動；

4、概念的應用與聯(lián)系，用概念解決問題，并建立所學概念與其他概念間的

聯(lián)系。

這種教學過程簡明，使學生可以比較直接地學習概念，節(jié)省時間，被稱為是“學生獲得概念的最基本方式”。但是，僅從形式上做邏輯分析讓學生理解概念是遠遠不夠的。數(shù)學概念具有過程——對象的雙重性，既是邏輯分析的對象，又是具有現(xiàn)實背景和豐富寓意的數(shù)學過程。因此，必須返璞歸真，揭示數(shù)學概念的形成過程，讓學生從概念的現(xiàn)實原型、概念的抽象過程、數(shù)學思想的指導作用、形式表述和符號化的運用等多方位理解一個數(shù)學概念，使之符合學生主動建構的教育原理。

美國教育心理學家布魯納曾指出：“獲得的知識如果沒有完滿的結構將它聯(lián)系在一起，那是一個多半會被遺忘的知識。一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促的可憐的壽命?！本蛿?shù)學概念教學而言，素質教育提倡的是為理解而教。新課改理念下的數(shù)學概念教學要經過四個階段：

1、活動階段。

2、探究階段。

3、對象階段。

4、圖式階段。

以上四個階段反映了學生學習數(shù)學概念過程中真實的思維活動。其中的“活

動”階段是學生理解概念的一個必要條件，通過“活動”讓學生親身體驗、感受直觀背景和概念間的關系；“探究”階段是學生對“活動”進行思考，經歷思維的內化、概括過程，學生在頭腦對活動進行描述和反思，抽象出概念所特有的性質；“對象”階段是通過前面的抽象認識到了概念本質，對其進行“壓縮”并賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個思維中的具體的對象，在以后的學習中以此為對象進行新的活動；“圖式”的形成是要經過長期的學習活動進一步完善，起初的圖式包含反映概念的特例、抽象過程、定義及符號，經過學習，建立起與其它概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式

二、新課改理念下的概念與法則的教學案例。

1、代數(shù)式概念

代數(shù)式（字母表示數(shù)）概念一直是學生學習代數(shù)過程中的難點，有很多學生

學過后只能記住代數(shù)式的形式特征，不能理解字母表示數(shù)的意義。代數(shù)式的本質在于將求知數(shù)和數(shù)字可以像數(shù)一樣進行運算。認識這一點，需要有以下四個層次。

（1）通過操作活動，理解具體的代數(shù)式

問題一：讓學生用火柴棒按下面的方式搭正方形，并請?zhí)顚懞孟卤恚?/p>

正方形個數(shù)

1

2

3

4

……

100

……

n

火柴棒根數(shù)

問題二：有一些矩形，長是寬的3倍，請?zhí)顚懴卤恚?/p>

寬

1

4

7.5

11

長

周長

面積

通過以上兩個問題，讓學生初步體會“同類意義”的數(shù)表示的各種關系。

（2）探究階段，體驗代數(shù)式中過程。

針對活動階段的情況，可提出一些問題讓學生討論探究：

①問題一中3n+1，與具體的數(shù)有什么樣的關系？

②把各具體字母表示的式子作為一個整體，具有什么樣的特征和意義？（需

經反復體驗、反思、抽象代數(shù)式特征：一種運算關系；字母表示一類數(shù)等）。

這一階段還包括列代數(shù)式和對代數(shù)式求值，可設計下題讓學生進一步體會代

數(shù)式的特征：

①每包書有12冊，n包書有________冊。

②溫度由t℃下降2℃后是_________℃。

③一個正方形的邊長是x，那么它的面積是_________。

④如果買x平方米的地毯（每平方米a元），又付y立方米自來水費（每立方米b元），共花去_______________元錢？

（3）對象階段，對代數(shù)式的形式化表述。

這一階段包括建立代數(shù)式形式定義、對代數(shù)式的化簡、合并同類項、因式分

解及解方程等運算。學生在進行運算中就意識到運算的對象是形式化的代數(shù)式而不是數(shù)，代數(shù)式本身體現(xiàn)了一種運算結構關系，而不只是運算過程。這一階段，學生必須理解字母的意義，識別代數(shù)式。

（4）圖式階段，建立綜合的心理圖式。

通過以上三個階段的教學，學生在頭腦中應該建立起如下的代數(shù)式的心理表

征：具體的實例、運算過程、字母表示一類數(shù)的數(shù)學思想、代數(shù)式的定義，并能加以運用。

2、有理數(shù)加法法則

（1）運算操作：計算一個足球隊在一場足球比賽時的勝負可能結果的各種

不同情形：

(+3)+(+2)——+5(-2)+(-1)——-3

(+3)+(-2)——+1(-3)+(+2)——-1

(+3)+0——+3…………

（其中每個和式中的兩個有理數(shù)是上、下半場中的得分數(shù)）。

（2）探究規(guī)律：把以上算式作為整體綜合進行特征分析：同號相加、異號相加、一個數(shù)與零相加等的過程和結果對照總結規(guī)律，理解運算意義。

（3）形成對象：把各種規(guī)律綜合在一起成為一完整的有理數(shù)加法法則，并產生有理數(shù)和的模式：

有理數(shù)+有理數(shù)=①符號②數(shù)值

這一階段還包括按照有理數(shù)和的模式及具體的運算律進行任意的有理數(shù)和的運算和代數(shù)式求值的運算等。

（4）形成圖式：有理數(shù)加法法則以一種綜合的心理圖式建立在學生的頭腦中，其中有具體的足球比賽的實例、有抽象的操作過程、有完整的運算律和形成的模式。而且通過以后的學習獲得和其他概念、規(guī)則的區(qū)別與聯(lián)系。

三、兩種教學模式下學生學習方式的對比分析。

與新課改理念相比，傳統(tǒng)的教學模式下學生的學習缺少“活動”階段，對概念的形成過程沒有充分體驗，學生數(shù)學概念的建立靠教師代替快體驗、快抽象。反映出的情況有：

（1）過快的抽象過程使得只能有一少部分學生進行有意義的學習，難以引發(fā)全體學生的學習活動，大部分學生理解不了數(shù)學概念，只能靠死記硬背。例如學生學習有理數(shù)運算很長時間，還經常出現(xiàn)符號運算錯誤，這就是學生對有理數(shù)運算沒有理解而造成的。

（2）由教師代替學生快體驗、快抽象出數(shù)學概念，即使是能跟隨教師進行有意義學習的學生其學習活動也是不連貫的，建構的概念缺乏完整性。例如學生學習了代數(shù)式的概念，經常出現(xiàn)a+a+a×2=3a×2,25x-4=21x,5yz-5z=y等錯誤，這是因為學生沒有進行必要的“活動”，使“探究”的體驗不完整需用造成的。又如在求解方程中出現(xiàn)(x+2)2=1=x2+4x+4=1=……等錯誤，說明學生還停留于運算過程層面，對方程對象的結構特征不理解。

（3）學生建構概念的圖式層面是學習的最高階段，在現(xiàn)有教學環(huán)境下很多學生難以達到這一層面。例如，為什么要學習解方程？解方程的本質是什么？

四、新課改理念下數(shù)學概念教學的策略。

新課改理念下的數(shù)學概念教學是由學生活動、探究到對象、圖式的學習過程，體現(xiàn)了數(shù)學知識形成的規(guī)律性。為此，我結合自己的教學實踐對數(shù)學概念教學采取以下策略：

（1）教師要把“教”建立在學生“學”的活動中。

為了使學生建構完整的數(shù)學知識，首先要設計學生的學習活動。這需要教師創(chuàng)設問題情境，設計時要注意以下幾個方面：①能揭示數(shù)學知識的現(xiàn)實背景和形成過程；②適合學生的學習水平，使學習活動能順利展開；③適當數(shù)量的問題，使學生有充足活動體驗；④注意趣味性，活動形式可以多種多樣，引起全體學生的學習興趣。

（2）體現(xiàn)數(shù)學知識形成中的數(shù)學思維方法。

數(shù)學思維方法是知識產生的靈魂，把握數(shù)學知識形成中的數(shù)學思維方法，是學生展開思維、建構概念的主線。學生學習中要給予提示、建議并在總結中歸納。另外，要設計能引起學生反思的提問，如“你的結果是什么？”“你是怎樣得出的？”“你為什么怎樣做？”……使學生能順利完成由“活動”到“探究”，“探究”到“對象”的過渡。

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數(shù)學概念是一類數(shù)學對象（數(shù)和形）的本質屬性在人的思維中的反映（抽象思維的產物），是這種對象所獨有的，而為其他對象所沒有的性質.對象的概念是用文詞表達出來的，即定義.基于概念本身的復雜性、抽象性，學生對概念的理解和掌握往往感到困難，因此必須重視和加強數(shù)學概念的教學.

一、在體驗數(shù)學概念產生的過程中認識概念

數(shù)學概念的引入，應從實際出發(fā)，創(chuàng)設情境，提出問題.通過與概念有明顯聯(lián)系、直觀性強的例子，使學生在對具體問題的體驗中感知概念，形成感性認識，通過對一定數(shù)量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質屬性.

如極限概念在《數(shù)學分析》中極其重要.在“極限”概念的教學中，教師先讓學生體會莊子“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的思想內涵，寫出數(shù)列，想象無限分割下去，其值幾乎是0；我們的生活體驗有：在晴朗的夜空，遙望星星，見到的是微小的閃爍的“小白點”，而實際上，很多星星比我們的地球大許多倍，我們見到的那束光也許走了多少光年，星星離我們實在是太遙遠了；李白的詩“孤帆遠影碧空盡”，杜甫的詩“會當凌絕頂，一覽眾山小”；運動員體力消耗到透支，都給我們以極限的感覺.再讓學生舉例，把自己對極限概念的一些認識融入討論之中.至于嚴格定義或說精確定義，我們利用幾何意義來分析，作出圖像，使函數(shù)值f（x）與確定值A有多接近就有多接近，無論給出多么小的ε，總可以找到相應的δ，當x■-δ

二、在挖掘新概念的內涵與外延的基礎上理解概念

一個新概念的引入，無疑是對已有概念的繼承、發(fā)展和完善.有些概念由于內涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步拓展和延伸.如三角函數(shù)的定義，經歷了以下三個循序漸進、不斷深化的過程：初中階段（1）用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數(shù)的定義；（2）用點的坐標表示的銳角三角函數(shù)的定義；高中階段（3）任意角的三角函數(shù)的定義，等等.可見，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學中可謂是重中之重，是整個“三角”部分的奠基石，貫穿于與“三角”有關的各部分內容中，并起著關鍵作用，很多題目是可以利用定義求解的.三角函數(shù)的性質符號：一全二正弦，三切四余弦；幾十個誘導公式；同角三角函數(shù)的各種關系式，等等，都可以利用定義得到.所以重視概念教學，挖掘概念的內涵與外延，對于學生理解概念顯得更有必要.常言道：磨刀不誤砍柴工.事實上，也正是如此，對概念的內涵與外延的把握，不但不會耽誤例題的講解，相反會相得益彰.

三、類比鄰近概念，引入新概念

任何數(shù)學概念必定有與之相關的鄰近概念，因此教學中，要以學生已掌握了的知識為基礎，從學生的鄰近概念出發(fā)，引導學生探求新舊概念之間的區(qū)別和聯(lián)系.這樣有助于學生掌握概念之間的相互聯(lián)系，促進學生對數(shù)學理論整體性與嚴密性的把握.

例如在學習連續(xù)概念時，就是利用極限定義的：設函數(shù)f（x）在點x■的某個鄰域內有定義，若■f（x）=f（x■），則稱函數(shù)f（x）在點x■處連續(xù)，否則稱點x■是f（x）的間斷點.分析定義可知，函數(shù)f（x）在點x■處連續(xù)，必須同時滿足以下三個條件：①函數(shù)f（x）在點x■的某鄰域內有定義，②■f（x）存在，③這個極限等于函數(shù)值 f（x■）.從正反兩面分析理解概念，還可以利用變式加以理解：■ f（x）=f（x■）？圳■Δy=0，自變量有一個微小的改變，函數(shù)值也有一個微小的改變，不是顯著的改變，教師作出幾個函數(shù)圖像，幫助學生加以理解.

再如以方程的解為坐標的點都在直線上，繼而讓學生觀察圖像為曲線的拋物線y=x■和正弦函數(shù)y=sinx的圖像，辨析它們是否也滿足這一點.通過直觀對比、觀察，啟發(fā)學生概括曲線和方程相互表示的條件.最后教師引導學生用類比直線的方程和方程的直線的方法給這類數(shù)與形和諧統(tǒng)一的曲線和方程下個定義.當然，對于數(shù)學概念的教學，乃至所有的課堂教學，教師始終應更注重引導學生自主探索，發(fā)現(xiàn)、總結、歸納，從而形成概念.

四、反思學習過的概念

如■（x≥0）是二次根式，學生往往不注意條件，被開方數(shù)非負，教師提問：■是二次根式嗎？學生立即答是.可是只有在x≥■時，被開方數(shù)非負.尤其在化簡二次根式時，要特別注意.再如冪函數(shù)y=x■與指數(shù)函數(shù)y=a■形式很像，它們的區(qū)別到底是什么？學生很難辨析.在講微積分起始課函數(shù)一節(jié)時，只有極個別的同學能答對.教師啟發(fā)學生看自變量所在的位置，冪函數(shù)的自變量在底數(shù)位置上，指數(shù)函數(shù)自變量在指數(shù)位置上，是兩種完全不一樣的函數(shù).

波利亞指出“學習最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”.因此在概念形成過程中，要引導學生通過對具體事物的感知，自主觀察分析、抽象概括，自覺獲取事物的本質屬性和規(guī)律，從而形成新的概念.這樣學生在獲得概念的同時，還培養(yǎng)了抽象概括能力和創(chuàng)新精神，同時使學生從被動地“聽”發(fā)展成為主動地獲取和體驗數(shù)學概念，自主建構知識的過程.這樣才能充分體現(xiàn)以學生為本，尊重學生主體地位的教學理念，同時促進學生學習方式的轉變和優(yōu)化，最后內化為自身的知識.從而發(fā)展思維能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，促進知識向能力轉化，有效提高教學質量.

參考文獻：

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數(shù)學概念又具有抽象與具體的雙重性。數(shù)學概念既然代表了一類對象的本質屬性，那么它是抽象的。以“矩形”概念為例，現(xiàn)實世界中沒見過抽象的矩形，而只能見到形形的具體的矩形。從這個意義上說，數(shù)學概念“脫離”了現(xiàn)實。由于數(shù)學中使用了形式化、符號化的語言，是數(shù)學概念離現(xiàn)實更遠，即抽象程度更高。但同時，正因為抽象程度愈高，與現(xiàn)實的原始對象聯(lián)系愈弱，才使得數(shù)學概念應用愈廣泛。但不管怎么抽象，高層次的概念總是以低層次的概念為其具體內容。且數(shù)學概念是數(shù)學命題、數(shù)學推理的基礎部分，就整個數(shù)學體系而言，概念是一個實在的東西。所以它既是臭抽象的又是具體的。

數(shù)學概念還具有邏輯聯(lián)系性。數(shù)學中大多數(shù)概念都是在原始概念（原名）的基礎上形成的，并采用邏輯定義的方法，以語言或符號的形式使之固定。其他學科均沒有數(shù)學中諸概念那樣具有如此精確的內涵和如此豐富、嚴謹?shù)倪壿嬄?lián)系。

數(shù)學概念教學是中學數(shù)學中至關重要的一項內容，是基礎知識和基本技能教學的核心，正確理解概念是學好數(shù)學的基礎，學好概念是學好數(shù)學最重要的一環(huán)。一些學生數(shù)學之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特別是像我校這樣普通中學的學生，數(shù)學素養(yǎng)差的關鍵是在對數(shù)學概念的理解、應用和轉化等方面的差異。因此抓好概念教學是提高中學數(shù)學教學質量的帶有根本性意義的一環(huán)。教學過程中如果能夠充分考慮到這一因素，抓住有限的概念教學的契機，以提高大多數(shù)學生的數(shù)學素養(yǎng)是完全可以做到的，同時，數(shù)學素養(yǎng)的提高也為學生的各項能力和素質的培養(yǎng)提供了有利條件以及必要保障。

從平常數(shù)學概念的教學實際來看，學生往往會出現(xiàn)兩種傾向，其一是有的學生認為基本概念單調乏味，不去重視它，不求甚解，導致概念認識和理解模糊；其二是有的學生對基本概念雖然重視但只是死記硬背，而不去真正透徹理解，只有機械的、零碎的認識。這樣久而久之，從而嚴重影響對數(shù)學基礎知識和基本技能的掌握和運用。比如有的同學在解題中得到異面直線的夾角為鈍角，有的同學認為函數(shù)與直線有兩個交點，這些錯誤都是由于學生對概念認識模糊造成的。只有真正掌握了數(shù)學中的基本概念，我們才能把握數(shù)學的知識系統(tǒng)，才能有正確、合理、迅速地進行運算，論證和空間想象。從一定意義上說，數(shù)學水平的高低，取決于對數(shù)學概念掌握的程度。

二．數(shù)學概念的教學形式

1．注重概念的本源、概念產生的基礎，體驗數(shù)學概念形成過程

每一個概念的產生都有豐富的知識背景，舍棄這些背景，直接拋給學生一連串的概念是傳統(tǒng)教學模式中司空見慣的做法，這種做法常常使學生感到茫然，丟掉了培養(yǎng)學生概括能力的極好機會。由于概念本身具有的嚴密性、抽象性和明確規(guī)定性，傳統(tǒng)教學中往往比較重視培養(yǎng)思維的邏輯性和精確性，在方式上以“告訴”為主讓學生“占有”新概念，使學生處于被動地位，使思維呈依賴，這不利于創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)?！皩W習最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”。學生如能在教師創(chuàng)設的情景中像數(shù)學家那樣去“想數(shù)學”，“經歷”一遍發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的過程，那么在獲得概念的同時還能培養(yǎng)他們的創(chuàng)造精神。由于概念教學在整個數(shù)學教學中起著舉足輕重的作用，我們應重視在數(shù)學概念教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。引入是概念教學的第一步，也是形成概念的基礎。概念引入時教師要鼓勵學生猜想，即讓學生依據(jù)已有的材料和知識作出符合一定經驗與事實的推測性想象，讓學生經歷數(shù)學家發(fā)現(xiàn)新概念的最初階段。牛頓曾說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。

”猜想作為數(shù)學想象表現(xiàn)形式的最高層次，屬于創(chuàng)造性想象，是推動數(shù)學發(fā)展的強大動力，因此，在概念引入時培養(yǎng)學生敢于猜想的習慣，是形成數(shù)學直覺，發(fā)展數(shù)學思維，獲得數(shù)學發(fā)現(xiàn)的基本素質，也是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的重要因素。 轉貼于

比如，在立體幾何中異面直線距離的概念，傳統(tǒng)的方法是給出異面直線公垂線的概念，然后指出兩垂足間的線段長就叫做兩條異面直線的距離。教學可以先讓學生回顧一下過去學過的有關距離的概念，如兩點之間的距離，點到直線的距離，兩平行線之間的距離，引導學生思考這些距離有什么特點，發(fā)現(xiàn)共同的特點是最短與垂直。然后，啟發(fā)學生思索在兩條異面直線上是否也存在這樣的兩點，它們間的距離是最短的？如果存在，應當有什么特征？于是經過共同探索，得出如果這兩點的連線段和兩條異面直線都垂直，則其長是最短的，并通過實物模型演示確認這樣的線段存在，在此基礎上，自然地給出異面直線距離的概念。這樣做，不僅使學生得到了概括能力的訓練，還嘗到了數(shù)學發(fā)現(xiàn)的滋味，認識到距離這個概念的本質屬性。

2．挖掘概念的內涵與外延，理解概念

新概念的引入，是對已有概念的繼承、發(fā)展和完善。有些概念由于其內涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高。如三角函數(shù)的定義，經歷了以下三個循序漸進、不斷深化的過程：

（1）用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數(shù)的定義；

（2）用點的坐標表示的銳角三角函數(shù)的定義；

（3）任意角的三角函數(shù)的定義。由此概念衍生出：1、三角函數(shù)的值在各個象限的符號；2、三角函數(shù)線； 3、同角三角函數(shù)的基本關系式； 4、三角函數(shù)的圖象與性質；5、三角函數(shù)的誘導公式等?？梢?，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學中可謂重中之重，是整個三角部分的奠基石，它貫穿于與三角有關的各部分內容并起著關鍵作用?！澳サ恫徽`砍柴工”，重視概念教學，挖掘概念的內涵與外延，有利于學生理解概念。

3．尋找新舊概念之間聯(lián)系，掌握概念

數(shù)學中有許多概念都有著密切的聯(lián)系，如平行線段與平行向量，平面角與空間角，方程與不等式，映射與函數(shù)等等，在教學中應善于尋找，分析其聯(lián)系與區(qū)別，有利于學生掌握概念的本質。再如，函數(shù)概念有兩種定義，一種是初中給出的定義，是從運動變化的觀點出發(fā)，其中的對應關系是將自變量的每一個取值，與唯一確定的函數(shù)值對應起來；另一種高中給出的定義，是從集合、對應的觀點出發(fā)，其中的對應關系是將原象集合中的每一個元素與象集合中唯一確定的元素對應起來。從歷史上看，初中給出的定義來源于物理公式，而函數(shù)是描述變量之間的依賴關系的重要數(shù)學模型，函數(shù)可用圖象、表格、公式等表示，所以高中用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)，抓住了函數(shù)的本質屬性，更具有一般性。認真分析兩種函數(shù)定義，其定義域與值域的含義完全相同，對應關系本質也一樣，只不過敘述的出發(fā)點不同，所以兩種函數(shù)的定義，本質是一致的。當然，對于函數(shù)概念真正的認識和理解是不容易的，要經歷一個多次接觸的較長的過程。

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關鍵詞 數(shù)學概念；教學

恩格斯說：“在一定意義上，科學的內容就是概念的體系?！睌?shù)學概念是整個數(shù)學知識體系的基礎，是進行數(shù)學推理、判斷、證明的依據(jù)，是建立數(shù)學定理、法則、公式的基礎，也是形成數(shù)學思想方法的出發(fā)點。數(shù)學概念的教學既是數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié)，又是數(shù)學學習的核心，其根本任務是準確地揭示概念的內涵與外延，是學生思考問題、推理證明有所依據(jù)，能有創(chuàng)見地解決問題?？梢哉f掌握數(shù)學概念是學好數(shù)學的關鍵。因此，數(shù)學概念的教學也相應稱為數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié)。高中數(shù)學教學實踐表明數(shù)學概念是數(shù)學中既不易教也不易學的內容。在數(shù)學教學中要自始至終抓住數(shù)學概念的本質屬性及其內部聯(lián)系，就要了解概念的體系，關注概念的引入，剖析概念的本質，掌握概念的符號，重視概念的鞏固。

一、了解概念的體系

數(shù)學概念是導出全部數(shù)學定理、法則的邏輯基礎，數(shù)學概念是相互聯(lián)系、由簡到繁而形成的學科體系。人們認識事物的本質特征通常不可能一次性孤立完成。事實上，學生“獲得的知識，如果沒有完滿的結構把他聯(lián)系在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。一連串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促的可憐的壽命”。因此，數(shù)學概念的教學，要弄清楚學習這個概念需要怎樣的基礎，分析這個概念以后有何用處，它的地位和作用如何。這樣，在講授時就能主次分明，輕重得當，既復習鞏固已學過的概念，又為后繼概念作恰當?shù)脑蟹?。例如，“絕對值”是貫穿整個中學數(shù)學的重要概念，先是在有理數(shù)中引入；接著在算術根中出現(xiàn)了，把絕對值得概念拓展到實數(shù)范圍；最后在復數(shù)中，絕對值的概念擴展成了復數(shù)的模

二、關注概念的引入

傳統(tǒng)的概念教學將獲得知識結論作為主要目標，忽視了學生在知識形成過程中的重要作用，使學生的學習行為更多的表現(xiàn)為機械記憶，而不是理性分析。根據(jù)建構主義學習理論學習應是認知主體的內部心理過程，學生是信息加工的主體。高中數(shù)學新課標中提出了“過程與方法”這一教學目標維度，在這一維度下，新課程對學生的學習要求從原來的“知識性”向“過程性”轉變。概念的引入是進行概念教學的第一步，這一步走得如何，對學好概念有重要的作用。

1.提供現(xiàn)實原型。著名教育家杜威曾說：“教學絕對不僅僅是簡單地告訴，教學應該是一種過程的經歷，一種體驗，一種感悟?！睌?shù)學教學中，教師應立足教材，著眼學生的發(fā)展，把握核心知識內容，有效開展自主探究活動，向學生展示本質，是學生理解數(shù)學概念的形成過程。形成準確概念的首要條件，是使學生獲得十分豐富和合乎實際的感性材料。因此，在教學中要密切聯(lián)系數(shù)學概念的現(xiàn)實原型，引導學生分析日常生活和生產實際中常見的事例，觀察有關的實物、圖示、模型，在具有充分的感性認識的基礎上引入概念。例如在“異面直線”概念的教學中，教師應先展示概念產生的背景，如在粉筆盒這樣一個長方體模型中，當學生找出兩條既不平行又不相交的直線時，教師告訴學生像這樣的兩條直線稱之為異面直線，接著教師可提出問題“什么是異面直線呢？”可讓學生進行討論，嘗試敘述，再進行反復修改可得出異面直線的簡明、準確而嚴謹?shù)亩x“我們把不在任何一個平面上的兩條直線稱為異面直線”。再讓學生找出教室中的異面直線，再以平面為襯托作出異面直線的圖，這樣學生對異面直線的概念就有了一個較為明確的認識，同時也讓學生經歷了概念發(fā)生發(fā)展過程的體驗。

2.從數(shù)學內在需要引入概念。例如，在實數(shù)范圍內，方程x2+1=0沒有解，為了使它有解，就引入了一個新數(shù)i，i滿足i2=-1，它和實數(shù)一起可以按照通常的四則運算法則，進行計算。由此再引入復數(shù)的概念。于是方程x2+1=0就有解了。

3.用類比的方法引入概念。類比不僅是思維的一種重要形式，而且是引入新概念的一種重要方法。任何數(shù)學概念必定有與之相關的最近概念，因此教學中要以學生已掌握了的知識為基礎，引導學生探求新舊概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，通過類比教學引出新概念。例如，二面角可類比平面角引入，平面與平面的位置關系可類比平面上直線與直線的位置關系引入，平面向量加法的三角形法則、平行四邊形法則概念的引入可以與物理學科中的位移的合成、力的合成進行類比引入等。

三、剖析概念的本質

概念在人們頭腦中形成，僅是人們對概念認識的開始，對概念認識的深化必須從概念的內涵與外延上作深入的剖析。概念的內涵是指反映在概念中的對象的本質特征。概念的外延是指具有概念所反映的本質屬性的對象。內涵是概念的質的方面，即概念所反映的事物是什么樣子的。外延反映的是概念的量的方面，即概念的適用范圍，它說明概念反映的是哪些實物。以三角函數(shù)的概念為例，對六個基本三角函數(shù)的定義，應抓住其中一個，如正弦函數(shù)sinα=y，可這樣進行分析：正弦函數(shù)的值本質上是一個“比值”，它是角α的終邊上任意一點的縱坐標y與這一點到原點的距離r的比值，因此它是一個數(shù)值；指出由于｜y｜≤r，所以這個比值不超過1，這個比值與點在角的終邊上的位置無關，這可用相似三角形的原理來說明；這個比值的大小，隨著α的變化而變化，當α取某個確定的值，比值也有唯一確定的值與之相對應。如此，以函數(shù)概念為基本線索，從中找出了自變量、函數(shù)以及對應法則，從而對正弦函數(shù)概念的理解就比較深刻了。經過對正弦函數(shù)概念的本質屬性分析之后，指出角的終邊上的任意一點P（x，y）一經確定，就涉及x，y，r這三個量，任取其中兩個量組成比值，有且僅有六個。因此，基本三角函數(shù)就有六個，從而對三角函數(shù)的外延，就揭示的非常清楚了。

四、掌握概念的符號

用數(shù)學符號表示數(shù)學概念既是數(shù)學的特點又是數(shù)學的優(yōu)點。由于數(shù)學概念本身就十分抽象，加上用數(shù)學符號表示，就更加抽象了，因而在數(shù)學概念教學中使學生真正掌握概念符號的意義是十分重要的。例如，學生往往將正弦函數(shù)的符號“sin”看成一個數(shù)，從而得出如下的錯誤等式：sin（α+β）=sinα+sinβ。所以在教學中，要始終給形式符號以具體的內容，時刻提醒學生注意符號的意義及使用符號的條件。

五、重視概念的鞏固

初步形成的概念，鞏固程度差，易受相近概念的干擾，適時利用變式訓練有助于糾正學生的思維偏差。概念鞏固是概念教學的重要環(huán)節(jié)。心理學原理告訴我們，概念一旦獲得，如不及時鞏固，就會被遺忘。鞏固概念，首先應在引入、形成概念后，及時進行復述，以加深對概念的印象。其次應重視在發(fā)展中鞏固。第三是通過概念的應用來鞏固。概念的應用要注意遞進的過程，即由初步的，簡單的應用，逐步發(fā)展到較復雜的應用。要引導學生在判斷、推理、證明中運用概念，在日常生活、生產實踐中運用概念，以加深對概念的理解，達到鞏固概念的目的。例如，教學對數(shù)的概念后，可以通過以下四類練習題予以鞏固：

通過這些練習，可以使學生逐步學會運用對數(shù)概念進行判斷、推理和證明。在運用的過程中，加深對對數(shù)概念的理解。

人類的認識過程是一個特殊的心理過程，對于數(shù)學概念的理解和掌握，智力不同的學生完成這個過程往往有明顯的差異。在教學中要面向全體學生出發(fā)，從不同的角度，設計不同的方法，使學生對概念作辯證的分析，進而認識概念的本質屬性。例如選擇一些簡單的鞏固練習來辨認、識別，幫助學生掌握概念的內涵與外延；通過變式或變式圖形，深化對概念的理解；通過新舊概念的對比，分析概念的矛盾運動，抓住概念之間的區(qū)別與聯(lián)系來形成正確的概念。只有讓學生深刻理解并掌握了概念，才能更好的幫助學生認識數(shù)學，進一步發(fā)展學生的數(shù)學思維，提高學生的理解能力。

參考文獻

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中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）02-0065

概念是最基本的思維形式。數(shù)學中的命題，都是由概念構成的，數(shù)學中的推理和證明，又是由命題構成的。因此，數(shù)學概念教學，是整個數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié)。正確地理解數(shù)學概念，是掌握數(shù)學知識的前提，可見概念的重要性。初中階段尤其是七年級，概念較多，怎樣組織教學，才能使學生更好地掌握呢？下面，筆者就結合自己在概念教學中的一些嘗試談幾點認識。

一、用歸納思維的方法引入概念

歸納是逐個研究某類事物而發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的思維過程，是人們認識事物、理解事物本質和掌握知識所不可缺少的。簡單地說，歸納也就是從特殊到一般的過程，因此在已有知識基礎上可用歸納法引出一般性概念。例如，在講正負數(shù)概念時，可以從學生熟知的兩個實例：溫度與海拔高度引入，比0℃高5℃記作5℃，比0℃低5℃記作℃，比海平面高8848米，記作8848米，比海平面低155米記作米。由這兩個實例很自然地把大于0的數(shù)叫做正數(shù)，把加“-”號的數(shù)叫做負數(shù)。這樣引入正、負數(shù)，不僅有利于學生正確使用正、負數(shù)表示具有相反意義的量，而且還幫助學生理解有理數(shù)的大小性質。這種用歸納思維引入概念的方法符合學生的認識規(guī)律，有利于學生對概念的理解和掌握。

二、用變式教學加深對概念的理解，深挖概念

初中數(shù)學中需要學習的概念很多，因為內容相近致使學生在學習中容易發(fā)生混淆，而變式教學對學生學習數(shù)學知識、理解概念的本質特征、提高教學效果有現(xiàn)實意義。

例如：在學習一元二次方程的概念：“只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程”時，筆者設計了一些針對這個概念的幾個變式練習題。

例題：下列方程中，哪些是一元二次方程？

①10x2=9 ②x-2=0 ③2x2+3x-1=0 ④（x-1）（x+1）=x+x2

⑤t2+2t-1=0 ⑥ax2+bx+c=0 ⑦■-■=0

變式1：方程3xk+2-3x+5=0是關于x的一元二次方程，則k=

變式2：若關于x的一元二次方程（a-1）x2+ax+a2-1=0的一個根是0，則a的值是

通過以上的的變式訓練，能夠逐漸加深學生對一元二次方程的概念的理解，從而對一元二次方程概念所反映的本質特征有一個清晰的認識。

因此，通過相應的變式教學能夠幫助學生抓住事物的本質特征，排除概念的無關特征，達到去偽存真的目的。在教學過程中，教師有意識地引導學生從“變化的過程”中l(wèi)現(xiàn)“不變”的本質，從“不變”中尋找規(guī)律，以“不變”應“萬變”，能夠激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提高學生的數(shù)學創(chuàng)新思維。

三、巧用方法，激發(fā)興趣，實現(xiàn)概念升華

為了幫助學生理解和掌握較抽象的概念，教師應采取多舉實例，演示教具，繪制圖形及運用通俗生動形象而富有感染力的語言等手段，給學生提供豐富的感性材料，使抽象問題具體化。這樣，以恰當?shù)难菔局庇^材料給學生鮮明具體的表象，有利于學生思維能力的發(fā)展，有利于具體形象思維逐步向抽象思維的過渡，從而激發(fā)了學生的學習興趣。因為興趣往往是學生能力的最初顯露，“是一些隱藏能力的信號”。教師的任務就在于發(fā)現(xiàn)這些能力，然后用以上方法就能有助于學生對定理、公式、概念等的理解與記憶，激發(fā)學生的學習主動性，為學生順利掌握概念創(chuàng)造有利條件，達到化難為易、突破難點、掌握概念的目的。如在講有理數(shù)這個概念時，由于正整數(shù)、零、負整數(shù)、正分數(shù)、負分數(shù)的全體都是有理數(shù)，這個概念的外延較大，并且六年級的學生抽象思維雖已有很大的發(fā)展，但經常還需要具體的感性經驗作支持，基于這個特點可以把有理數(shù)比喻成一棵大樹，把它的組成分別看成樹叉和樹根，如圖：

這樣，鮮明生動的形象比喻，容易吸引學生注意，激發(fā)學習熱情，促進知識的理解與鞏固。右圖中教師只給出部分枝干，其余讓學生自己動手完成，為培養(yǎng)學生動手實踐能力奠定了基礎，還激發(fā)了學生借助直觀的形象進行廣泛的聯(lián)想，從而開拓了豐富的思維形象，發(fā)展了深刻的抽象思維以實現(xiàn)概念的升華。

四、用已定義概念類比得出新概念

數(shù)學中有些概念的內涵有相似之處，容易造成學生學習新概念時，常常受到與其相似或類同的舊知識的干擾。由于舊知識在學生頭腦中已形成牢固的思維定式，在與之相近的新概念學習中很容易發(fā)生學習障礙。所以，在這類概念教學中，我們要充分運用分析、對比或類比的方法，引導學生全方位、多角度、多層次地認識新概念，使新概念的內涵突出地顯示出來，劃清“形似質異”或“形異質同”的新舊概念的界限，以利于形成深刻而清晰的認識，明了它們的區(qū)別與聯(lián)系，從而得出新的概念。由于學生歸納總結的能力有限，有時很難獨立完成對新舊概念的辨別與分析，這時教師可針對教材內容和學生特點設計問題，幫助他們實現(xiàn)新舊概念的過渡與銜接，形成概念學習的正遷移。如在通過等式概念類比得到不等式概念時，筆者通過下面三步逐漸引導學生掌握概念。

第一步：1. 什么是等式？2. 等式中“=”兩側的代數(shù)式能否交換？3. “=”是否有方向性？這樣就復習鞏固了等式的概念和性質。

第二步：再通過天平稱物重的兩個實例得到兩個不等式和例舉的幾個如7>5，3+4

第三步：類比總結出不等式的概念的同時，分清了不等式與等式的異同點：①等式用“=”連接，不等式用不等號連接。②“=”沒有方向性，不等號具有方向性，因而不等號兩側不可能相互交換。

通過此種類比的方法，有利于提高學生歸納和分析問題的能力，又不會因問題太難或太簡單而失去學習興趣。這樣，學生便能很好地掌握這類內容的結構特征及特點。

五、注重實際應用概念，對概念進行升華

學習數(shù)學概念的目的，就是用于實踐。因此，要讓學生通過實際操作掌握概念、升華概念。概念的獲得是由個別到一般，概念的應用則是從一般到個別。學生掌握概念不是靜止的，而是主動在頭腦中進行積極思維的過程，它不僅能使已有知識再一次形象化、具體化，而且能使學生對概念的理解更全面、更深刻。

1. 多角度考查分析概念

例如：對一次函數(shù)概念的掌握，可通過下列練習：

①如果y=（m+3）x-5是關于x的一次函數(shù)，則m ；

②如果y=（m+3）x+4x-5是關于x的一次函數(shù)，則m ；

③如果y=（m+3）xm2-8+4x-5是P于x的一次函數(shù)，則m=

；

學生通過以上訓練，對一次函數(shù)的概念及解析式一定會理解。

2. 對于容易混淆的概念做比較訓練

例如，學生學習了矩形、菱形、正方形的概念以后，可做以下練習：

下列命題正確的是：

①四條邊相等，并且四個角也相等的四邊形是正方形。

②四個角相等，并且對角線互相垂直的四邊形是正方形。

③對角線互相垂直平分的四邊形是正方形。

④對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形。

⑤對角線互相垂直平分，且相等的四邊形是正方形。

⑥對角線互相垂直，且相等的平行四邊形是正方形。

⑦有一個角是直角，且一組鄰邊相等的四邊形是正方形。

⑧有三個角是直角，且一組鄰邊相等的四邊形是正方形。

⑨有一個角是直角，且一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形。

⑩有一個角是直角的菱形是正方形。

教師在設計練習的時候，對相似概念一定要抓住它們的聯(lián)系和區(qū)別，通過練習使學生真正掌握它們的判定方法和相互關系。

3. 對個別概念，要從產生的根源考查

例如“分式方程的增根”的概念。可從產生的根源考查，教學時設計下列練習，讓學生體會增根的概念：

①分式方程 =1的根是 。

②如果分式方程 = 有增根，則增根一定是 。

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節(jié)[1];數(shù)學概念學習APOS理論模型認為學生學習數(shù)學概念進行心理建構的第一階段就是操作或活動階段[2]，即在一定背景下引入概念;在教科書的演變過程中，因式分解內容也從講解式發(fā)展到啟發(fā)式，尤其注重從實際的例子引入，以便學生理解[3]。不難看到，概念的背景和引入是概念教學非常重要的起步。至此，筆者將因式分解概念的背景介紹和引入作為備課的重點之一，讓學生通過這節(jié)課體會因式分解概念學習的必要性和重要性。

一、基于概念背景的因式分解教學設計

為更好地引入因式分解這一概念的背景，筆者進行了如下的教學設計片段：

二、基于概念背景的因式分解思考

筆者將課程的引入設計為以上三重思考，通過一些例子來滲透因式分解這一概念的必要性和重要性，讓學生在一個大的背景下學習因式分解概念。

1. 因式分解與學科內容的邏輯關系

因式分解是對整式的一種變形，是把一個多項式轉化成幾個整式乘積的形式，它與整式乘法是互逆變形的關系。因式分解是后續(xù)學習分式、二次根式、一元二次方程、二次函數(shù)等知識的基礎，是解決整式恒等變形和簡便運算問題的重要工具。因此，“思考1”的設計是想讓學生體會到因式分解和后續(xù)學習的密切關系。筆者選擇從分式化簡的角度來引導學生思考，學生通過和很容易想到了要想化簡，只需要將分子 寫成乘積的形式。

2. 因式分解與實際應用

“思考2”展示了長方形草坪和長方體紙盒的設計問題：當長方形草坪的面積一定時，如何設計它的長和寬，當長方體包裝盒的體積一定時，如何設計它的長、寬、高。盡管這樣的設計不唯一，但學生通過12=4×3和ab=a b也容易想到將a2-b2寫成兩個式子乘積的形式，將a3+2a2b+ab2寫成三個式子乘積的形式，這樣的問題讓學生切實感受到生活中的一些實際問題也需要用到“將某個式子寫成乘積的形式”，同時讓學生感受因式分解有其幾何背景。

3. 因式分解與思維訓練

在評課活動中，老師們曾提到，“思考1”和“思考2”的設計是在他們意料之中的，但“思考3”的設計在他們意料之外。有老師問到，這樣的問題學生在學完本課之后能解決嗎？筆者認為“思考3”的設計目的并不是讓學生一定會對n4+4進行因式分解，而是想讓學生感受因式分解在數(shù)學史中的地位和作用，同時用這樣一個數(shù)學史的問題引起學生的興趣和思考，帶著這個問題學完本章，在章節(jié)結束時順其自然地解決這個問題。在實際授課過程中，筆者感受到學生對“思考1”和“思考2”的回答很流暢，而對“思考3”的回答就沒那么順暢了。筆者提示學生從具體的數(shù)入手計算，學生們行動起來，并把得到的數(shù)進行質因數(shù)分解，說明它是合數(shù)，也由此想到了是否能把n4+4也寫成一些式子乘積的形式。

三、小結

至此，學生已經對“把某個式子寫成乘積形式”這一變形的印象非常深刻了，此時提出因式分解的概念便水到渠成。后續(xù)教學過程就是圍繞因式分解與整式乘法是互逆變形的關系歸納概括因式分解的概念，然后辨析概念，最后講解了一種因式分解的基本方法―提公因式法。在本課的最后，筆者又回到了課程起始的三個思考，學生恍然大悟，要解決這三個問題，其實就是對a2-b2、a3+2a2b+ab2和n4+4進行因式分解。

整堂課下來，學生給筆者的感覺是他們多多少少體會到了學習因式分解概念的必要性，概念的產生也沒有那么突兀。這使筆者感到這樣的思考和備課是很有意義的?；仡櫼延袑W者、研究者對數(shù)學概念教學的研究，我們看到，概念的背景和引入雖然只是概念教學的一部分，但它卻是概念教學非常重要的起步。在數(shù)學教科書的演變過程中，我們洞察到因式分解概念教學越來越注重從實際例子引入，從大的背景出發(fā)，啟發(fā)學生思考，使概念在課堂中的產生順理成章。

概念的背景也許并不止這些，但只要教師在教學時或多或少地設計一些有關概念背景的教學并持之以恒，就能對學生的學習和教師的成長大有裨益。

參考文獻：

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數(shù)學中的論證是由一連串推理組成的，嚴謹?shù)耐评韥碓从谡_的判斷，而正確的判斷是依據(jù)概念和應用概念進行的。因此，數(shù)學概念的教學在數(shù)學教學中有著極其重要的地位，是提高數(shù)學教學質量的有力杠桿。我們知道，正確地理解數(shù)學概念是掌握知識的前提，是培養(yǎng)學生邏輯思維能力必不可少的重要條件。但是，如何進行數(shù)學概念的教學，怎樣傳授概念教學的方法，歷來是數(shù)學教學十分關注的熱點之一。根據(jù)自己多年來的本人教學體會，認為教好數(shù)學概念教學必須做到“五抓”:

一、抓概念的形成，正確理解概念

在教學一個新的概念時，首先要注意它是如何形成的，是如何從具體的事物中抽象出來的，此概念的內涵（就是概念所反映的本質屬性的總和）是什么，它的外延（就是具有概念所反映的本質的所有對象的集合）是什么，只有這樣，才能使學生正確理解概念.例如：“函數(shù)”這一概念定義為：“如果在某個變化過程中有兩個變量x、y，并且對于x在某個范圍的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，那么y就是x的函數(shù)，記作y=f(x)”.從定義可以看出，函數(shù)的概念的本質屬性有：變量x的取值范圍（定義域），對應法則f，每一個確定的x對應唯一確定的y值（y值的集合叫值域）.如果聯(lián)系到我們前面學過的集合A到集合B的單值對應（也叫映射），應當發(fā)現(xiàn)，函數(shù)實質上就是定義域A，值域C以及A到C的對應法則f三部分組成的一個特殊的映射.

再如，講授數(shù)列｛an｝的極限是A（即an=A），采用從直觀描述，再由定性到定量，由淺入深地進行。（1）數(shù)列｛an｝的極限是A的描述是：當自然數(shù)n無限增大時，數(shù)列｛an｝無限趨近A.（2）什么叫數(shù)列｛an｝無限趨于A，就是| an-A|無限趨向于0，即當自然數(shù)n無限增大時，| an-A|無限趨近于0.（3）什么叫|an-A|無限趨近于0？就是|an-A|能任意小，即對預先指定的任意小的正數(shù)ε恒成立，通過對極限由表及里、由淺入深的認識，數(shù)列｛an｝的極限A可表述為“無論預先指定多么小的一正數(shù)ε，都能在數(shù)列中找到一項an，使得這一項后面的所有項與A的差的絕對值都小于ε（即當n>N時, | an-A|

二、抓概念的要點，分層次掌握概念

數(shù)學概念的教學，要注意對概念逐字逐句加以推敲分析，善于剖析每一概念的層次要點，多層次、全方位地啟發(fā)學生理解概念.例如：“奇函數(shù)”的概念，課本上是這樣寫的：“對于函數(shù)f(x)，如果對于函數(shù)定義域內任意一個x，都有f(-x)=-f(x).那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù).“那么，這個概念的內涵是什么呢？通過深“深摳”，使同學們認識到：（1）對奇函數(shù)來講， x與-x都應該在定義域中，即它們的定義域關于原點必須是對稱的，這是一個隱含條件；（2）對定義域內任意一個x，都有f(-x)= -f(x),這就是說它的自變量，因變量之間有這樣的一種特定的對應規(guī)律，即對于自變量的兩個相反值x與-x，它們對應的函數(shù)值f(x)與f(-x)恰好是相反數(shù)；（3）這種特定的對應規(guī)律，反映在作圖上，必然是函數(shù)的圖象關于原點對稱.這樣一“摳”就使學生清楚地認識到奇函數(shù)的三條性質是從它的定義中引伸出來的，定義和性質是源與流的關系，因與果的關系.兩者之間不是孤立的、割裂的，這樣一步一步地使學生正確理解函數(shù)的奇偶性是函數(shù)定義域上的一個整體，而不是局部的性質.使學生深刻理解概念理論體系和理論發(fā)展中的科學價值，從系統(tǒng)上，本質上正確掌握概念。

三、抓關鍵，找本質強化概念

概念是對客觀事物本質屬性的概括和反映，要正確理解某一概念，必須引導學生全力找出概念的本質，把概念的本質屬性向學生講清楚，切忌讓學生死記硬背。例如：“橢圓的定義”，課本上是這樣定義的：“平面內到兩定點的距離的和等于常數(shù)（大于兩定點的距離）的點的軌跡叫做橢圓?！蓖ǔ１硎緸闄E圓就是集合；P={M| |MF1|+|MF2|=2a}不少同學死記這個公式，認為只要形式上符合這個公式，則M點的軌跡就是橢圓，認為滿足方程|z-i|+|z+i|=2的點z的軌跡是橢圓，事實上，點z的軌跡是不存在的，因為定義要求動點到兩定點的距離之和大于兩定點的距離，即2a>|F1F2|，之所以發(fā)生此類的錯誤，主要原因是學生沒有掌握概念的本質屬性。

再如，集合的概念，課本上是這樣說的：“像這樣，把具有某種屬性的一些對象，看作一個整體，便形成一個集合?！蓖ㄟ^典型的例題分析，引導學生發(fā)現(xiàn)集合的本質屬性是：集合的范圍、集合的特征、集合的對象”。而形成集合的元素必須具備以下三點：（1）集合里的元素是確定的，這就是說，任何一個對象或者是這個集合的元素，或者不是這個集合的元素，二者必居其一。（2）集合里的元素是互異的。這就是說，一個集合里的元素都是彼此不同的，即在一個集合里元素不能重復出現(xiàn)如方程（x-1）2=0的實數(shù)解的集合里只有一個元素1。（3）集合里的元素是無序的，在一個集合里，通常不考慮它的元素之間的順序，也就是說，集合的元素哪個在前，哪個在后是無關緊要的，只有讓學生掌握了概念的本質屬性，才能不出現(xiàn)象“花園里好看的花”、“較大的數(shù)”等組成的集合的錯誤。

四、抓變式、舉反例深化概念

數(shù)學概念大都是從正面闡述的，從而導至教師講解時，機械地講授數(shù)學概念，如果在教學中，在學生正面認識概念的基礎上引導他們從反面或側面去剖析，那么就可以深化對概念的理解。例如，在講授等比數(shù)列的定義后，可以向學生提問：“是否存在公比為0的等比數(shù)列？”通過分析討論知道，這種數(shù)列是不存在的。而且學生可以得到一個新的發(fā)現(xiàn)――等比數(shù)列中的項是不能為0的，至此，學生對等比數(shù)列的概念加深了了解。

“曲線和方程”的對應關系比較抽象，學生不易理解，教學中，可先通過實例，使學生弄清曲線和方程的內在聯(lián)系，再歸納出曲線和方程的一般關系。

（1）“曲線上的點的坐標都是這個方程的解”闡明曲線上沒有坐標不滿足方程的點，也就是說曲線上所有點都適合這個條件而毫無例外（純粹性）.

（2）“以這個方程的解為坐標的點都在曲線上”闡明適合條件的所有點都在曲線而毫無遺漏（完備性）

只有具備了上述兩個條件，才能稱為“曲線的方程”和“方程的曲線”，為了使學生正確理解曲線和方程間的對應關系，可舉實例從反面加以說明：

過點（2，0）平行于y軸的直線L與方程|x|=2之間的關系，如圖1直線L上的點只具備條件（1）而不具備條件（2），因此，方程|x|=2不是直線L的方程，直線L也不完全是方程| x|=2的直線，它只是方程|x|=2所表示的圖形(如圖2)的一部分。

例2、到兩坐標軸距離相等的點軌跡與方程y=x之間的關系，只具備條件（2），而不具備條件（1），如圖3因為到兩坐標軸距離相等的點的軌跡有兩條直線L1和L2，直線L1上點的坐標都是方程y=x的解，但直線L2上的點（除原點外）的坐標就不是方程y=x是直線L1的方程，方程y=x不是所求的軌跡方程，通過上面兩例，使學生對曲線和方程概念的理解等到了深化。

在教學中，尋求分式的多變形式，逐步培養(yǎng)學生靈活多變的思維能力，同時也加深了對概念的理解，如對數(shù)tg(α+β)= (tgα+tgβ)/(1- tgαtgβ)可變?yōu)閠gα+tgβ=tg(α+β)?(1- tgαtgβ)也可變?yōu)椋?- tgαtgβ）=(tgα+tgβ)/ tg(α+β)等。

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概念的引入是概念教學的第一步。成功的教學經驗啟迪著每位教師，數(shù)學教學中若能把“純粹”的數(shù)學知識與學生在日常生活的、熟悉的、具體的材料相聯(lián)系，這樣就有利于抽象的數(shù)學概念具體化、形象化，便于學生的理解，同時也能激發(fā)學生的思維和探索新知的欲望。

二、在生活實例中理解概念

當學生已經獲得比較豐富的感性知識，基本掌握了概念的含義后，為了豐富知識的外延促進理解，教師要及時引導學生，利用一些具體的生活實例，通過比較、分析、綜合、概括等思維活動和學習手段，來剔除知識的非本質屬性，抽取其基本屬性，幫助學生構建自己正確、清晰的知識框架。

三、以“實際問題”為練習目標

學生頭腦中的數(shù)學知識，不能只停留在背誦、記憶概念的基礎上，還要通過必要的訓練和練習，讓學生在解決實際問題的過程中進一步消化、吸收，以達到牢固、靈活地掌握所學知識的目的。為此在這方面教師要潛心研究教材教法，從生活實際中尋找練習的目標，要讓學生知道數(shù)學知識的來龍去脈，使學生對數(shù)學產生一種親切感。

四、讓“生活”成為學生展示知識的舞臺

教師不僅要教會學生怎樣獲取知識，更要讓他們能用所掌握的知識去創(chuàng)造性地解決一些實際問題，從而使學生的聰明才智得以充分發(fā)揮，個性在此得到張揚，所以教師在教學的過程中，應選擇一些“生活”問題，讓學習用今天學到的知識來創(chuàng)造性地解決。